2012年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营a题山东大学数模a题精选

1、关于深圳人口结构和医疗需求的预测,2012年深圳杯数学建模大赛A题,队员： 刘翔 韩福波 王英泽,指导老师： 刘保东,山东大学,组员介绍,刘翔 土建与水利学院 论文写作、建模 韩福波 计算机科学与技术学院 编程、图表制作 王英泽 控制科学与工程学院 资料检索,目录,1.1 建模的背景与目的,研究背景深圳快速发展，人口结构复杂，医疗系统急 需完善 研究对象深圳人口总数、结构；医疗床位需求 研究目的 分析人口变化特征，预测未来十年人口数量和结构 预测未来市、区医疗床位需求 预测肿瘤、肺癌等疾病在不同类型机构中床位需求,人口特点 1. 非户籍人口远超过户籍人口 2. 非户籍人口中流动人口数量大 多从事第二、三产业 数量与产业结构变化相关 3. 户籍政策影响 非户籍转化为户籍人口的数量逐年增加 4.年轻人口比例大 老龄化不明显 非户籍老人随迁现象,人口概念辨析常住人口=户籍人口+非户籍人口 户籍人口持有深圳市户籍 非户籍人口没有持深圳市户籍 (1) 居住时间超过6个月的流动人口 (2) 原地未持有户籍证的人口,1.2 问题分析,1. 户籍人口 数据分析已知历年的户籍人口数、出生率、死亡率 绘出

2、户籍人口变化曲线，不满足阻滞增长模型； 增量远高于自然增长率计算得到结果； 建模启示 考虑非户籍转化为户籍人口,1.2.1人口总数与结构预测,建模方法 (1) 转化量预测：第t 年的户籍人口增量减去该年只考虑自然增长的人口，可以得到历年的转化量 (2) 户籍人口总数预测：根据户籍政策估计转化量 结合拟合得到的出生率与死亡率，预测户籍人口数量,19792010年深圳市户籍人口数变化,19792010年深圳市非户籍人口数变化,2.非户籍人口预测 数据分析绘出非户籍人口变化曲线不满足阻滞增长模型；深圳的经济增长对非户籍人口有吸引力 建模启示 (1) 建立深圳二、三产业生产总值增长模型 (2) 非户籍人口与二、三产业总值关系模型,建模方法 (1) 用自回归综合移动平均模型（ARIMA）预测二、三产业总值 (2) 在经济学Cobb-Dauglas生产函数的基础上建立非户籍人口数量与二、三产业产值增长率的关系模型 (3) 考虑非户籍转化为户籍的人口；用递推方式预测未来十年非户籍人口,3.常住人口预测 建模目的(1) 常住人口总数 (2) 人口年龄结构 建模启示(1) 常住人口=户籍人口+非户籍人口

3、 (2) 用LESLIE矩阵，预测人口结构的变化,建模方法 建立生育模式模型，符合概率论中的分布；求得各年龄段生育率 (2) 用最小二乘法拟合求得各年龄段死亡率 (3)引入LESLIE矩阵，各段的人口构成了一个向量。这些向量 在LESLIE矩阵的传递下，得到人口年龄结构的变化情况 (4) 将流动人口按比例分配至各年龄段， 得到修正人口年龄结构,4. 医疗床位预测 建模目的反映深圳医疗床位需求，建立三个子模型 对市、区医疗床位的需求预测； 对某种疾病的病床需求预测； 对某家市级或区级医疗机构，针对不同疾病进行床位分配 数据分析已知人口年龄结构，各年龄段住院率 建模方法 (1)子模型 与都是在病床需求公式上建立： (2)子模型是综合评价模型，建立病床利用率、 月周转次数两项指标；线性规划求解,病床数,病人数,利用率,：年周转次数,1.3 结果概览,第二部分,2.1 人口数量和结构预测,山东大学,.户籍人口 模型假设(1)假设后十年，非户籍转化为户籍人口的政策不变 (2)户籍人口的出生率变化很小，假定其不变 模型建立 1.转化量 设第 t年户籍人口总数为 ,由非户籍转化为户籍的数量为 户籍人

4、口死亡率为 ，出生率为,自然状态下t+1年人口,目的计算20012010年 ，寻找规律,的规律：20012005年明显线性增长 20062010年（除2009年）近乎不变 结论 由政策调控,“十五”,“十一五”,预测根据深圳市人口发展“十二五”规划，得到户籍人口机械增长计划；假设“十三五”期间政策与“十一五”相似”，机械增长量不变。,转化量拟合图,2.户籍人口总数 数据处理20012010年出生率 变化不大，取均值 死亡率函数指数递减，用最小二乘法拟合得到,预测本文将机械增长计划作为转化量 的预测值，得到20112020转化量预测值；,模型结果将预测得到的转化量，拟合得到的死亡率代入,.非户籍人口预测 模型假设 (1)假设户籍人口主要从事第三产业，极少从事第二产业（建筑业与工业） (2)假设二、三产业总值的增长与劳动力增长有关，技术进步和资本增长因素的综合影响不随时间变化 二、三产业总值增长模型 建模启示生产总值是受许多因素共同作用，受基本因素和偶然因素的影响，其表现为上下波动，是一组非平稳的时间序列；本文采用自回归综合移动平均模型（ARIMA）求解,模型机理考虑序列 ,若其能通过d次

5、差分后变为平稳序列, 则 为平稳序列, 于是可建立ARMA(p,q)模型： 经d 阶差分后的ARMA 模型称为ARIMA(p,d,q) 模型。其中 p为自回归模型的阶数，q为移动平均的阶数， 为一个白噪声过程 模型建立应用统计软件SPSS20.0 作时间序列分析 第二产业ARIMA(1,1,1): 第三产业ARIMA(3,1,1):,参数检验 R2检验；t统计量显著性检验；残差的自相关、偏自相关分析 预测用SPSS对20112020年的产值预测,2.非户籍人口预测 产值与劳动力关系 设非户籍人口为 ；设 , , 分别表示深圳在t时刻 的产值、资金和劳动力 对于固定时刻，由Cobb-Dauglas生产函数,为产出的劳动弹性， 为产出的资本弹性,两边同时求导,同除以Q,将上式变形化简得：,由假设，技术进步与资本增长综合影响为常量,非户籍劳动力与产业结构关系 设第t 年劳动力占人口总数的比值为 ； 非户籍人口中从事二、三产业的数量占劳动力总数的比值为 和 ，对应的人均产值为 与 ； 设第t年二、三产业总值的贡献率（各产业总值增量与GDP增量之比）为 和,数据条件19912010年 变化不大，

6、取均值1.012 通过深圳统计年鉴2011查得各产业贡献率 结果求得各年的,非户籍人口与产业总值 模型准备户籍人口主要从事第三产业；非户籍人口主要从事第二、三产业 设 第二产业总值； 第三产业总值； 产值增长率 建立模型,离散化,第二产业劳动力：,假设相邻两年从业人员比例相近,从业人员比例： 从事第二产业的非户籍人口比例：,参数确定用线性回归确定参数 ，并对模型检验 模型应用 数据准备：据深圳市国民经济和社会发展十二五规划纲要 2010年的 为60%， 为40%； 以4%逐年减少， 以4%逐年增加,第三产业,分母为第三产业劳动力，包括户籍和非户籍部分 分子为第三产业劳动力增量,据年鉴资料，通过数据处理，可得到增长率 ；人口增量 在前面模型中，已求出,反映了产业结构的变化！,求得未来十年从业人口的 比例,以2010年的 为基数，增长率 ，参数 已经求得 用递推的方式预测20112020年非户籍人口,将前式变形,第t+1年非户籍人口总数：,户籍政策转化量,. 常住人口模型 1. 常住人口总数 设常住人口为 ；户籍人口为 ；非户籍人口为、 2.常住人口年龄结构 用 表示第t 年 i岁的常住人

7、口的总数； 用 表示第t 年 i岁女性生育率，育龄区间为 简化假设女性比与时间无关，用 表示 i岁人口的女性比 生育模式据人口理论 为总和生育率，假设每个女性只生一胎， 为各年龄段生育加权因子，称为生育模式；符合分布,a=6 b=2,生育模式分布图,各年龄段死亡率,死亡率用 表示第i岁死亡率; 表示第i岁出生率 死亡率分段函数描述； 在儿童段使用Weibull模型，在青壮年和老年使用Kannisto模型,用最小二乘法拟合，求出死亡率函数的各参数,不考虑迁移的年龄结构 将5岁为跨度的各年龄段数据插值，得到1岁为跨度的 存活率,第t 年婴儿存活数,：女性比 ：生育加权因子,代入人口分布向量,将LESLIE矩阵拆分,不考虑人口迁入时， 各年龄组人口分布向量为,令,考虑迁移人口的年龄结构,迁移的流动人口,务工的年轻人口,随迁老人,考虑迁移人口的年龄结构,2.2 医疗床位需求预测,山东大学,1.概述 模型分为三部分： 对市、区医疗床位的需求预测 对某种疾病的总病床需求预测 针对某家市级或区级的医疗机构，按不同疾病进行床位分配 上述模型都假设医护人员充足，不计医护人员多少对床位的影响,2. 对市、

8、区医疗床位预测 住院人次为,病床需求公式！,病床需求公式 设病床的年利用率为 ，年周转次数为M。 根据医疗机构设置规划指导原则 病床需求公式,人口年龄结构：,年周转次数没有现成数据，用往年数据推断 公式变形为,深圳卫生统计年鉴：住院人次，病床数，病床利用率已知 求得20012010年的 用最小二乘法拟合得到函数,模型应用假设病床利用率，住院率不变，可以得到20112020年的病床需求量 将需求量按各区的人口比例分配,2.对某种疾病的总病床需求预测 预测不同疾病在市、区中医疗床位的总量。 以肿瘤与肺癌为例，其他种类的疾病按照此法进行预测 假设肿瘤和肺癌的住院率等于患病率,对于某种疾病周转次数 为平均住院天数,该种疾病需要的病床数,该种疾病各年龄段住院率,肿瘤,某家医院的月住院人次 对于一家具体的医院，总病床数和服务范围是固定的 设某医院第t 年月均住院人次为 ；该医院的病床总数为 第 t年所在地区的住院人次为 ；所在地区的病床总数,该医院的服务范围、级别（市级或区级） 评价指标 住院人次,3.某家医院的病床分配,评价指标 （1）病床利用率,平均住院天数 病床开放天数,（2）病床月周转次数

9、 设第j 类疾病的月均住院人次为 ，各种疾病的发病率为 某家医院的病床总数为 ， 为第 j类病床的分配比例。 将病床需求公式变形得,用 来表示第j 类疾病最大月周转次数 等价为医院里只有一张病床仅收治一类患者的情形 当医疗条件不改变时， 为一定值 建立评价病床月周转次数的指标为= 由卫生年鉴，已知数据,第 j类疾病的病床月周转次数为,病床方案选择 用Y表示对病床安排模型的综合评价值 通过综合加权得到 为病床的使用率，据年鉴都在90%左右，权重 为一小量 故Y=,病床分配比例线性规划求最优解：,深圳人民医院：,3.1 模型评价与改进,模型评价 1.人口预测模型 考虑因素的多少及数据的模糊程度，选择不同的预测方式 户籍人口预测结合户籍政策 在CobbDauglas公式基础上建立了非户籍人口与产业总值的数学模型 总人口年龄结构的预测中，运用了L矩阵。考虑流动人口对年龄结构的影响；每次递推前都将年龄结构修正，提高预测的精度 模型应用预测深圳、上海等人口流动量较大的城市的人口数量、结构 进行人口老龄化分析,2.床位的需求模型 充分挖掘年鉴上的数据，建立了通用的病床需求公式 在公式基础上，建立了三个子模型，可以准确描述市级和区级医院病床需求 运用了建立指标和线形规划的方法对某家医院床位分配 模型应用应用范围广，应用至不同医疗机构中 求得对应的病床分配方案,模型改进 (1) 忽略性别比例随时间变化对模型的影响 (2)简化技术进步和资本增长因素对非户籍劳动力的影响 细化资本增长因素，模型会更加精确，即 但无法查得每年对各产业的准确投资额，故采用简化假设 (

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