（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十 8.5.2 直线与椭圆的综合问题 文

1、课时分层作业 五十直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017全国卷)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ()A.B.C.D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即= ,e=.【变式备选】椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=()A.B.C.D.4【解析】选C.因为=,所以=22-=4-=.2.在平面直角坐标系中,点P(x,y)到点F(3,0)的距离与它到直线x=的距离之比为,则点P的轨迹方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.由题意可知=,化简整理得+=1.3.已知椭圆+=1上一点P,椭圆的焦点为F1,F2,若三角形PF1F2的内切圆的半径为,则三角形PF1F2的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.因为三角形的面积公式S=pr(其中p为三角形的周长的一半,r为内切圆的半径),所以三角

2、形PF1F2的面积为(PF1+PF2+F1F2)r=(2a+2c)r=(3+1)=.【变式备选】1.已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,过焦点F1作长轴的垂线与椭圆相交,一个交点为P在第一象限,则PF2的斜率为()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为椭圆的焦点为F1(0,1),F2(0,-1),所以P,所以= =.2.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点是圆x2+y2+2x-2 019=0的圆心,则此椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】选A.因为圆心为(-1,0),所以c=1,因为离心率为,所以a=2,所以b2=3,所以椭圆方程为+=1.4.已知F1,F2是椭圆+=1(ab0)的左,右焦点,该椭圆上存在两点A,B使=3,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.=3F1AF2B,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2得(*)由=3得代入(*)得消去y2得x2=a,所以2e2-3e+10,所以e0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得:k=;

3、同理可得当kb0)经过不同的三点A,B,C(C在第三象限),线段BC的中点在直线OA上,则点C的坐标为_.【解析】由点A,B在椭圆上,得解得所以椭圆的方程为+=1.设C坐标为(m,n),(m0,nb0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l不过原点O且不垂直于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解析】(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=,yM=kxM+b=.于是直线OM的斜率kO M=-,即kO Mk=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,椭圆C:+y2=1,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中D.设直线AB,AC的斜率分

4、别为k1,k2.(1)求k1k2的值.(2)记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数,使得kPQ=kBC?若存在,求的值;若不存在,说明理由.(3)求证:直线AC必过点Q.【解析】(1)设B(x0,y0),则C(-x0,-y0),+=1,所以k1k2=-.(2)联立得(1+)x2-4x+4(-1)=0,解得xP=,yP=k1(xP-2)=;联立得(1+4)x2-16x+4(4-1)=0,解得xB=,yB=k1(xB-2)=,所以kBC=,kPQ=,所以kPQ=kBC,故存在常数=,使得kPQ=kBC.(3)当直线PQ与x轴垂直时,Q,P,得k1=-,k2=,则kAQ=k2,所以直线AC必过点Q,当直线PQ与x轴不垂直时,直线PQ方程为:y=,联立,解得xQ=,yQ=,所以kAQ=-=k2,故直线AC必过点Q.1.(5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】选A.根据题意,因为AF1B的周长为4,所以|AF1|+|AB|+|

5、BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因为椭圆的离心率e=,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1.2.(5分)(2018吕梁模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)=0(O为坐标原点),则F1PF2的面积是 ()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为(+)=(+)=0,所以PF1PF2,F1PF2=90.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1.3.(5分)椭圆+=1上有两个动点P,Q,E(3,0),EPEQ,则的最小值为()A.6B.3-C.9D.12-6【解析】选A.设P点坐标为(m,n),则+=1,|PE|=,因为-6m6,所以|PE|的最小值为.又因为=(-)=-=|2,所以的最小值为6.4.(12分)已知长为1+的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=,求点P的轨迹C的方程.【解析】设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),=,又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),所以

6、x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即+=(1+)2,所以+(1+)y2=(1+)2,化简得+y2=1.所以点P的轨迹方程为+y2=1.5.(13分)(2017全国卷)已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3,P4,又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点,将P2,P3代入椭圆方程得解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)当斜率不存在时,设l:x=m,A,B,+=+=-1,得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.当斜率存在时,设l:y=kx+n,A,B,联立整理得x2+8knx+4n2-4=0,x1+x2=,x1x2=,则+=+=-1,又n1n=-2k-1,此时=-64k,存在k使得0成立,所以直线l的方程为y=kx-2k-1,当x=2时,y=-1,所以l过定点.

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