(全国通用)2018高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时 证明平行和垂直习题 理
5页1、第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,3利用向量解决垂直问题2,41. (2014湖北卷)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解: 以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0).(1)证明:当=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ
2、的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.2. (2016济南市高三上学期期末)如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,CD=BC=AB=1,点M在线段EC上. (1)证明:平面BDM平面ADEF;(2)若EM=2MC,求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.(1)证明:如图,因为DC=BC=1,DCBC,所以BD=,因为AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以ADBD,因为平面ADEF平面ABCD,EDAD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,则BDED.因为ADDE=D,所以BD平面ADEF,又BD平面BDM,所以平面BDM平面ADEF.(2)解:在平面DAB内过点D作DNAB,因为ABCD,所以DNCD,又因为ED平面ABCD,所以DNED.以D为坐标原点,DN所在的直线为x轴,DC所在直线为
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