2018届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数教师用书 理

1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解任意角的概念；2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。2016，四川卷，3,5分(诱导公式)本部分很少直接考查，往往结合三角函数的其他公式及三角函数的图象及性质间接考查。微知识小题练自|主|排|查1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k，kZ。2弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|。(3)角度与弧度的换算1rad；1 rad。(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为Slr|r2。3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么siny，cosx，tan(x0)。(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线

2、的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线。 微点提醒1“小于90的角”“锐角”“第一象限的角”的区别如下：小于90的角的范围：，锐角的范围：，第一象限角的范围：(kZ)，所以说小于90的角不一定是锐角；锐角是第一象限角，反之不成立。2角的概念推广到任意角后，角既有大小之分又有正负之别。3角度制与弧度制在一个式子中不能同时出现。4在判定角的终边所在的象限时，要注意对k进行分类讨论。小|题|快|练一 、走进教材1(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C.D.【解析】单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义知，所以l。故选D。【答案】D2(必修4P15练习T6改编)若角满足tan0，sin0知，是一、三象限角，由sin0，所以m6。故选C。【答案】C4半径为R的圆的一段弧长等于2R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是_。【解析】圆心角的弧度数2。【答案】25已知角和角的终边关于直线yx对称，且，则sin_。【解析】角和角的终边关于直线yx对称，2k

3、(kZ)。又，2k(kZ)，sin。【答案】微考点大课堂考点一 象限角及终边相同的角的表示【典例1】(1)已知角的终边在第二象限，则的终边在第_象限。()A一或二B二或三C一或三 D二或四(2)与2 015终边相同的最小正角是_。【解析】(1)由角的终边在第二象限，所以k2k2，kZ，所以22，kZ，当k2m，mZ时，m2m2，mZ，所以在第一象限；当k2m1，mZ时，m2m2，mZ，所以在第三象限。综上，的终边在第一或三象限。故选C。(2)因为2 0156360145，所以145与2 015终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有145与2 015终边相同，所以与2 015终边相同的最小正角是145。【答案】(1)C(2)145反思归纳1.判断角所在的象限，先把表示为2k，0,2)，kZ，然后判断角的象限即可。2确定角k，(kN*)的终边的位置：先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置。【变式训练】(1)若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四

4、象限(2)已知角45，在区间720，0内所有与角有相同的终边的角为_。【解析】(1)当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限，故选A。(2)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600。得765k36045。解得k，从而k2或k1，代入得675或315。【答案】(1)A(2)675或315考点二 扇形的弧长公式及面积公式母题发散【典例2】若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为_。【解析】设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为。【答案】【母题变式】1.若去掉本典例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【解析】设圆心角是，半径是r，则2rr10(0r0时，r5a，sin，cos，tan；当a0时，r5a，sin，cos，tan。【答案】(1)(2)见解析角度二：根据定义求点的坐标【典例4】顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角，的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若30，60，则弦AB的长为_。【解析】由三角函数的定义得A(cos30，sin30)，B(cos60，sin60)，即A，B。所以|A

5、B|。【答案】角度三：三角函数线的应用【典例5】(2017郑州模拟)函数ylg(2sinx1)的定义域为_。【解析】要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ)。【答案】(kZ)反思归纳1.三角函数定义的应用问题的解题思路(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值。(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值。2三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解。微考场新提升1设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosx，则tan()A.B.CD解析因为是第二象限角，所以cosx0，即x0。又cosx。解得x3，所以tan。故选D。答案D2已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A2 B1 C. D3解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2。从而2。故选A。答案A3已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为()A. B. C. D.解析sin，cos，角x的终边经过点，tanx，x2k，kZ，角x的最小正值为。(也可用同角基本关系式tanx得出。)故选B。答案B4已知是第二象限的角，则180是第_象限的角。解析由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，则180(180k360)180180(90k360)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角。答案一5在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_。解析依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos1201，y2sin120，即B(1，)。答案(1，)

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