大学课件《应用数理统计》
358页1、应用数理统计,刘峻岭,前 言,数理统计定义与任务,统计学 统计学是数据的艺术和科学,通过产生、收集、描述、分析、总结和表达数据达到发现新知识的目的。 统计学的基本任务 描述、确定、作出判断,得出与总体有关的推断。,数理统计的内容,收集数据 通过实验、抽样调查、普查、查阅以往记录。 统计分析 用科学的方法对数据进行归纳整理、分析和解释,从而提示出它们的基本特性和重要关系,以确定数据的变化规律和趋势。 统计推断 利用收集的有效数据,在统计分析的基础上,对总体进行推断。,描述统计学:研究整理和描述数据的方法。对随机现象进行观测、试验,以取得有代表性的观测值。,推断统计学:研究用从总体中抽取的样本所提供的信息,对总体作出推断的方法。,数 理 统 计,应用数理统计的分类,课程安排,基本知识 统计量与抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析 回归分析,基础知识,随机变量的特征函数,随机变量X的分布函数为F(x),称函数 为随机变量X的特征函数。 特征函数是有界连续函数,容易应用数学分析工具,所以它在概率论和数理统计中起着较重要的作用。特征函数既能完美地刻划分布函数,又比分布函数便于应用。,随机变量的
2、特征函数,离散型随机变量X的特征函数 连续型随机变量X的特征函数,离散型随机变量的特征函数,0-1分布:XB(1,p) 二项分布:XB(n,p) 泊松分布:XP(),连续型随机变量的特征函数,指数分布:XE() 均匀分布:XU(a,b) 正态分布:XN(,2),特征函数基本性质,设随机变量X的特征函数为,特征函数基本性质,设随机变量X存在前n阶导,则的特征函数的n阶导数存在且一致连续。,特征函数基本性质,设相互独立的随机变量Xi的特征函数为 则 的特征函数为,特征函数基本性质,设相互独立的随机变量Xi的特征函数为 则Y=aX+b 的特征函数为,逆转公式,分布函数F(x)的特征函数为 为x1,x2是F(x)的连续点,对一切,唯一性定理,如果两个分布函数F1(x)和F2(x)恒等,当且仅当它们各自的特征函数恒等,即,。,数理统计中常用的分布,0-1分布:XB(1,p) 二项分布:XB(n,p) 泊松分布:XP(),数理统计中常用的分布,指数分布:XE() 均匀分布:XU(a,b) 正态分布:XN(,2),函数,对任意给定的正数0:,函数,对任意给定的正数0,0 :,2分布,对于给定的任意正
3、数n,令 : 则分布的密度函数变为 随机变量X的密度函数为上式,则称X服从自由度为n的2分布,记为2(n)。,2分布的可加性,随机变量Xj相互独立,且 , 则 请同学们证明(用特征函数),证明,Xj的特征函数为: 的特征函数为: 按特征函数唯一性定理,2分布的期望与方差,2分布的分位点,对任意给定正数,01,称满足条件 的点 为 分布上的分位点。 分位点已制成表格,可以查用。,2分布的近似计算,当n30时 近似服从标准正态分布 可查标准正态分布表求出 然后有,t分布,对于给定的任意正数n,随机变量X的密度函数为 则称X服从自由度为n的t分布,记为tt(n)。,t分布的期望与方差,t分布的分位点,对任意给定正数,01,称满足条件,的点 为 分布上的分位点。 t分布的分位点有表可查。,F分布,对于给定的任意正数n1,n2,随机变量X的密度函数为 则称X服从自由度为 n1和n2的F分布,记为F( n1,n2)。,F分布的期望与方差,F分布的分位点,对任意给定正数,01,称满足条件,的点 为 分布上的分位点。 F分布的分位点有表可查。,例题2-1,查表求:,例题2-1解,统计量与 抽样分布,总
4、体与个体,在数理统计学中,把所研究对象的全体元素的集合称为总体,把组成总体的每个元素称为个体。 灯泡:寿命、亮度 篮球:直径、质量 食品:农药残留量、细菌含量等,抽样与样本,为了了解总体X的分布规律或某些特征,从总体中,按一定法则抽取一定数量的个体进行观测或试验。这种过程称为抽样,所抽取的个体称为样本,样本中个体的个数称为样本容量。观测后的数据称为样本的样本值,样本的可能取值的全体称为样本空间。 检验一批灯泡的寿命是否满足国标要求,随机抽样,要求抽取的样本能很好地反映总体特征且便于处理。 代表性:要求样本X1,X2,Xn同分布且每个Xi与总体具有相同的分布 独立性:要求样本X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,统计量,设( X1,X2,Xn )是总体X的样本,f ( X1,X2,Xn )是 n 元实函数,且 f 中不含任何未知参数,则称 f ( X1,X2,Xn )为一统计量。 设( x1,x2,xn )是相应于( X1,X2,Xn )的样本值,则称 f ( x1,x2,xn )为f(X1,X2,Xn)的观察值。 由于样本 X1,X2,Xn 是随机变量,统计量 f ( X1,X2,Xn
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