线性代数相似矩阵与二次型第5节二次型化为标准型的方法

1、第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,5.5 化二次型为标准形,定理5.2. 对于任何一个n元实二次型f = xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + + nyn2, 其中1, 2, , n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的对应的n个单位正 交特征向量.,正交变换下的标准形,一. 用正交变换化实二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例1,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,于是所求正交变换为,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,解,例2,.,2,2,2,2,2,2,4,3,4,2,3,2,4,1,3,1,2,1,化为标准形,把二次型,求一个正交变换,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,f,Py,x,+,+,-,-,+,=,=,第五

2、章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,例3. 用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形.,|EA| = (1)(2). 所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(EA)x = 0求得对应的特征向量 1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T. 它们是两两正交的.,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,所以A的特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 代入(EA)x = 0求得对应的特征向量 1 = (1, 0, 1)T, 2 = (0, 1, 0)T, 3 = (1, 0, 1)T. 它们是两两正交的.,把它们单位化可得正交矩阵,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,f = y22 +2y32.,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,例4. 求二

3、次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 在条件x12+x22+x32 = 1下的最大, 最小值.,由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特 征向量: 1 = (1, 1, 0)T,|EA| = (4)2(+2).,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,此外A的对应于特征值 = 2的一个特征向量 为3 = (1, 1, 2)T,得2 = (1, 1, 1)T,由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量: 1 = (1, 1, 0)T,4EA =,1 1 2,1 1 2,2 2 4,初等 行变换,1 0 0,1 0 0,2 0 0,为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交的特 征向量, 再解方程组,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,f = 4y12 +4y22 2y32,由此可得正交矩阵Q =,且x12+x22+x32 = 1化为y12+y22+y32 = 1, 此时,令x = Qy, 得该二次型的标准形为,f = 4y12 +4y22 2y32.,= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32,最大值为4, 最小值为2.,=

4、 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,二. 用配方法化实二次型为标准形,解,例1,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,所用变换矩阵为,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,再配方，得,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,所用变换矩阵为,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤

5、，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.,解: f =4x12+3x22+3x32+2x2x3,令,则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换.,解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3,= x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2 (x2 x3)2 3x22 6x2x3,= (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2,= y12 y22,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,三. 用初等变换法化实二次型为标准形,例5. f =2x1x2+2x1x3 6x

6、2x3的矩阵为,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,5.5 化二次型为标准形,第五章 二次型,即x = Cy把该二次型化为,第五章 二次型,5.5 正定二次型,四. 惯性定理(Inertia Law),定理. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f = k1y12 + + knyn2 其中k1, , kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.,(positive index of inertia),(negative index of inertia),第五章 二次型,5.5 正定二次型,例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形:,f = 2z12 2z22 +6z32,可见秩(f) = 3, f的正惯性指数p = 2, f的负惯性 指数q = 1.,第五章 二次型,5.5 正定二次型,推论a. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 且规范形(normalized form)是唯一的.,

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