培优9一次函数综合类问题四大类

1、一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k0）k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，BM即为水平宽度，则，b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标2. 设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k20若k1=k2，且b1b2，则直线l1l2；若k1k2=-1，则直线l1l23. 一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题二、精讲精练1. 如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为_ 第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将AOB绕点O逆时针旋转90得到CODCD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1_l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则

2、k1k2=_3. 如图，直线交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为_4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线l的对称点A的坐标为_；猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线l的对称点P的坐标为_；应用：已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为_5. 如图，已知直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_ 第5题图 第6题图 第7题图6. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=，把BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为_7. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边

3、有公共点（1）a的取值范围是_；（2）若设直线PQ为y=kx+2（k0），则此时k的取值范围是_8. 如图，已知正方形ABCD的顶点A(1，1)，B(3，1)，直线y=2x+b交边AB于点E，交边CD于点F，则直线y=2x+b在y轴上的截距b的变化范围是_第8题图 第9题图9. 如图，已知直线l1：与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:SABC =_ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，-4)，P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰RtAPM（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几

4、何信息；2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题二、精讲精练1. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60角的直角三角形，则点P的坐标为_ 2. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且.（1）求点B的坐标和k的值（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=，点C的坐标为(-9，0)（1）求点B的坐标（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4. 如图，直线y=kx+3与x

5、轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=kx+3上与A，B不重合的动点过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使BCD与AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由5. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）（1）在点P的运动过程中，试写出OPC的面积S与x之间的函数关系式（2）当点P运动到什么位置时，OPC的面积为？求出此时点P的坐标（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使EOFBOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的

6、运动情况，又要结合基本图形信息二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒（1）求OA，OB的长（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使EOPAOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由2. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，ABC=60（1）求直线BC的解析式（2）若动点P从点A出发沿AC方向向点C运动（点P不与点A，C重合），同时动点Q从点C出发沿折线CBBA向点A运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度设APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（3）当t=4时，y轴上是否存在一点M，使得以A，Q，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，在直角梯形COAB中，OCAB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标

7、分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAABBD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒（1）求直线BC的解析式（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的？（3）在动点P的运动过程中，设OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 4. 如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点P（1）求点P的坐标（2）求OPA的面积（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EFx轴交线段OP或线段PA于点F，FBy轴于点B设运动时间为t秒，矩形OEFB与OPA重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式5. 如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0 t 4）（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN和OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式 一次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：公式法（规则图形）；割补法（分割求和、补形作差）；转化法（例：同底等高）2. 坐标系中面积问题的处理方法举例割补求面积（铅垂法）： 转化求面积：如图，满足SABP=SABC的点P都在直线l1，l2上二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则AOB的面积为_2. 如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为(-2，2)，则SPAB=_ 第2题图 第3题图3. 如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P若SAPD=4.5，则k=_4. 如图，直线经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求ABC的面积5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积

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