大学物理第二章质点动力学

1、第二章 质点动力学 2-1 动量与牛顿运动定律 一牛顿第一定律、惯性系 牛顿第一定律：“任何物体都要保持其静止或匀 速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这 种状态为止”。 第一定律首先表明，物体都有保持运动状态不 变的特性，这种特性称为物体的惯性。第一定律还表明，要使物体的运动状态发生变化 ，一定要有其他物体对它的作用，这种作用称为力。 第一定律还定义了一种特殊的参考系惯性系 。只有在惯性系中，不受外力作用的物体才会保持静 止或匀速直线运动状态不变，而惯性定律在其中不成 立的参考系称为非惯性系 常见的惯性系：研究地面附近物体运动时可选地球 为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选太阳为惯 性系；研究天体运动时，可选多个恒星或星系参考 系为惯性系。不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离 的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系 间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也 都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体 则不是惯性系。二、动量、牛顿第二定律 1、动量定义：质量为m，速度为 的质点动量2、牛顿第二定律 物体受到外力作用时，物体的

2、动量将发生变化 ，物体所受合外力F等于物体的动量随时间的变化 率。 质量m不变，有关于牛顿第二定律，应当明确以下几点： （1）第二定律和第一定律一样只适用于惯性参照系 。（2）第二定律给出了力与加速度之间的瞬时关系。 即F与a同时产生，同时变化，同时消失。（3）第二定律概括了力的独立性原理或力的叠加原 理：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度 等于每个力单独作用时所产生的加速度的矢量和。（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：三、牛顿第三定律物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用 力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反 ，分别作用在两个物体上。第三定律主要表明以下几点：（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消失 ，在同一条直线上，大小相等而方向相反。（2）作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个 不同物体上，各产生其效果，不能相互抵消。（3）作用力和反作用力是同一性质的力

3、。四、 四种相互作用和力学中常见的力 1、自然界中的四种相互作用自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表 中所示：相互作用 相互作用的物体 力的强度 力 程强相互作用 重子、介子 1 1015m 电磁相互作用 带电粒子 10 2 无限远 弱相互作用 大多数粒子 1013 1018m 引力相互作用 一切物体 1038 无限远2、力学中常见的力万有引力: 它存在于任何两个物体之间。两个质点 间的引力方向沿二者连线，大小与两质点质量的乘积 成正比，与二者距离的平方成反比：其中G 0 = 6.671011 Nm2kg ，为引力常数。原子核中两个相邻的质子之间的万有引力1034N 相隔1m 的两个人之间的引力约107N。 在宇宙天体之间，由于天体质量巨大，引力起着主要作用。m1m2r重力：地面附近的物体由于地球的吸引 而受到的力叫重力。在重力作用下，任 何物体产生的加速度都是重力加速度。 忽略地球自转的影响重力近似等于地球 的引力弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。其表现形式有：正压力、支持力、拉力、张力、弹簧 的恢复力等。在弹性限度内 f =

4、k x 胡克定律 k 叫劲度系数静摩擦力: 大小介于0 和最大静力摩擦力 fS 之间， 视外力的大小而定。最大静摩擦力： f S =S N滑动摩擦力: f k =k N对给定的一对接触面，S k ，它们一般都小于1。摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的 一对阻碍相对运动的力,叫做摩擦 力。它们大小相等，方向相反， 分别作用在两个物体上。流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。在相对速率v 较小时，阻力主要由粘滞性产生，流 体内只形成稳定的层流。此时 f = - k vk 决定于物体的大小和形状以及流体的性质。 在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将 与物体运动速率的平方成正比： f = - c v2若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。五、牛顿定律的应用应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：如在直角坐标系中： 在自然坐标系中：1、恒力作用的情况这类情况中常有多个有关联的物体

5、一起运动。解题步骤如下：分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立 坐标系。写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间 的关系式。解方程组，并对计算结果作简短讨论。例1、如图，质量 m1= 1kg 的板放在地上，与地面间 摩擦系数10.5 ，板上有一质量 m2= 2kg 的物体，它 与板间的摩擦系数2=0.25 。现用f =19.6 N 的力水平 拉动木板，问板和物体的加速度各是多少？m1m2F解：本题似乎很简单，设m1 和 m2 的加速度分别为a1 和a2 ，受力 分析、列方程如下：m2gN2f2a2a1m1gN2N1 f2f1F代入求出这显然是错误的！原因在于误认为m1与m2之间有相 对运动，而实际上此时二者相对静止，式 f 2=2N2 是错误的。去除此式并让 a1 = a2 可求出：mM例2、如图，质量为M 的斜面 放在水平面上，斜面上另一质 量为m 的滑块沿斜面滑下，若 所有的表面都是光滑的，求二 者的加速度和相互作用力。解：选地面为惯性系，对二者受力分析和运动分析如 图，注意 m 相对地面的加速度为mgN2 MgN2N1建立坐标系

6、x 轴水平向左，y 轴竖直向上。列出有关 运动方程求出：OyxAmgN例3 一曲杆OA绕y轴以匀角速度转动，曲杆上套着 一质量为m的小环，若要小环在任何位置上均可相对 曲杆静止，问曲杆的几何形状？ 解：小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动，受重力mg和 支持力N，设小环所在位置坐标为（x,y），切线倾角 为，则有 相除得 或 OyxAmgN积分得 说明曲杆的形状为一抛物线。 2、变力作用的情形当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化 的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法 求解。例4、质量为m 的物体，从高空由静止开始下落，设 它受到的空气阻力 f = kv ，k 为常数，求物体下落的 速度和路程随时间的变化。 mgvfyyO 解：取y 轴竖直向下为正，设物体由原 点开始下落到 y 处时，速度为 v，受重 力和阻力作用，其运动微分方程为：分离变量并作定积分，有其中为下落的收尾速度。求出：再次积分得例5、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气 阻力 f = kv2 ，若子弹出枪口时速率为 v0 ，求：（1 ）子弹此后速率，（2）当 v= 0.5 v0 时，它飞行的距 离。 解：（1

7、）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气 阻力，因而运动微分方程为：积分得积分（2）运动方程改写成22 单位制和量纲一、基本单位和导出单位物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各 物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们 的单位之间也就有一定的联系。 v选定少数几个物理量作为基本量，并人为地规定它们的单位，这样的单位叫做基本单位。v其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本单位的组合，叫导出单位。二、国际单位制基本单位和由它们组成的导出单位构成一套单位制。如果选取不同的基本单位，就产生了不同的单位 制。1980年11届国际计量大会通过的单位制叫国际单位制，简称SI。v国际单位制的七个基本量及基本单位：长度 L米(m) 时间 T秒(s) 质量 M千克(kg) 电流安培(A) 物质的量摩尔(mol) 热力学温度开尔文(K)发光强度坎得拉 (cd)v在力学中仅用到L、T、M 这三个基本量。国际千克原器v千克是质量单位，等于保存在巴 黎国际计量局中的国际千克原器的 质量。（第1和第3届国际计量大会 ，1889年，1901年）1967年第13届国际计

8、量大会规定时间单位用 铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对应的辐射 的频率为：=9192631770 Hz v 1秒=上述跃迁谱线周期的9192631770倍 并依此规定制作出了铯原子钟。v其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）加速度a=V/t，单位：米/秒2（m/s2）力 F=ma ， 单位：千克米/秒2 (kg m/s2）1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中的 光速规定：c = 299792458 m/s因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。三、量纲v导出物理量对基本物理量的依赖关系可以用基本物理量及其幂次的乘积来表示，称为导出物理量的量纲。 v我们常用字母L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲。其他的各物理量的量纲就可用这三个字母的某种组合来表示如：速度的量纲是 LT1，加速度的量纲是 LT2力的量纲是 MLT2v用量纲可以定出同一物理量不同单位之间的换算 因子 如：1牛顿= 1千克米秒2 = 1000克100厘米秒2= 105克厘米秒2 = 105达因1焦耳 =

9、1牛顿1米= 1千克米2 秒2 = 1000克10000厘米2 秒2 = 107克厘米2 秒2 = 107尔格v量纲法则：量纲服从的规律叫量纲法则。量纲分析是一种常 用的定性、半定量分析方法。v量纲也可用来校核等式只有量纲相同的量才能相加、相减、用等号 相联系。在复杂的方程中，每一项必然具有相同 的量纲，因此校核各项的量纲，就可以明确等式 是否正确。上式中每一项都具有长度的量纲 L，因而等式成 立。v从量纲的分析，可以明确方程中某一比例系数（ 实际上是一物理量）的量纲，从而定出这比例系数 的单位。例：由万有引力公式可知万有引力恒量G0的量纲为M1L3T2；在国际单位制中，G0的单位为米3（千克秒2）。 24 动量定理、动量守恒定律 1、力的冲量力作用在物体上总会有一段时间，为描述力对时 间的累积作用，定义：力的元冲量：力的冲量：其中 为物体在一段时间内所受的平均力。一、质点的动量定理 2、质点动量定理可将牛顿第二定律写成因而有：在一段时间内，质点所受合外力的冲量，等于在此 时间内该质点动量的增量质点动量定理。分量表示动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用，此时的 冲力变化很大，它随时间而变化的关系难以确定，牛 顿第二定律无法直接应用，但根据动量定理，冲力的 冲量具有确定的量值，它等于冲击（碰撞）前后动量 的变化。而且还可由冲量求出其平均冲力。 注意：动量定理也仅在惯性系中才成立，在非惯性系 中还要加入惯性力的冲量。t1t2tF例6 一个质量m=0.14 kg 的垒球沿水平方向以v1 =50 m/s 的速率投来，经棒打击后，沿仰角=450的 方向飞出，速率变为v2 =80 m/s 。求棒对球的冲量 大小与方向。如果球与棒接触的时间为 t =0.02 s ，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量 的几倍？a解：如图所示，设垒球飞

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