1985年普通高等学校招生全国统一考试《数学》（理工农医类，全国卷）试卷

1、第 1 页 共 16 页19851985 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (全国卷全国卷) )数学（理工农医类）数学（理工农医类）一、本题每一个小题都给出代号为一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,DA,B,C,D的四个结论的四个结论, ,其中只有一个结论是正确的其中只有一个结论是正确的, ,把正确结论的代号写在题后的括号内把正确结论的代号写在题后的括号内. .(1)(1)如果正方体如果正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D的棱长为的棱长为a,a,那么四面体那么四面体A A-ABD-ABD的体积是的体积是（）（）(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件（）(A)y=x2(xR)(B)y=sinx(xR)(C)y=cos2x(xR)(D)y=esin2x(xR)第 2 页 共 16 页(4)(4)极坐标方程极坐标方程=asin=asin(a0)(a0)的图象是（的图象是（）(5)(5)用用1,2,3,4,51,2,3,4,5这五个数字这五个数字, ,可以组成比可以组成比2000020000大大, ,并且百位数

2、不是数字并且百位数不是数字3 3的没有重复的没有重复数字的五位数数字的五位数, ,共有（共有（）(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个二、只要求直接写出结果二、只要求直接写出结果. .(2)(2)设设a a1,1,求求arccosa+arccos(-a)arccosa+arccos(-a)的值的值. .(3)(3)求曲线求曲线y2=-16x+64y2=-16x+64的焦点的焦点. .第 3 页 共 16 页(5)(5)设函数设函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是0,1,0,1,求函数求函数f(x2)f(x2)的定义域的定义域. .三、三、(1)(1)解方程解方程 log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).第 4 页 共 16 页四、如图四、如图, ,设平面设平面ACAC和和BDBD相交于相交于BC,BC,它们所成的一个二面角为它们所成的一个二面角为4545,P,P为面为面ACAC内的一点内的一点,Q,Q为面为面BDBD内的一点内

3、的一点. .已知直线已知直线MQMQ是直线是直线PQPQ在平面在平面BDBD内的射影内的射影, ,并且并且M M在在BCBC上上. .又设又设PQPQ与平面与平面BDBD所成的角为所成的角为, ,CMQ=CMQ=(0(0x2+2x+1,x20,以及sin2(因六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法. .第 11 页 共 16 页2.当a0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得 x2-y2+2x-2y+8=0, (*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二解法二: :设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组第 12 页 共 16 页解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB

4、两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得 x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.七、本题考查数列和极限的基础知识七、本题考查数列和极限的基础知识, ,证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法. .(1)证法一证法一: :用数学归纳法.假设当n=k(k1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得第 13 页 共 16 页即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二证法二: :直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n1)求和,得到又因以及因此不等式第 14 页 共 16 页对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及bn的定义知于是八、本题考查集合的基本知识八、本题考查集合的基本知识, ,不等式的证明以及分析问题的能力不等式的证明以及分析问题的能力. .解法一解法一: :如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线

5、l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当第 15 页 共 16 页时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n23,所以上式中等号不可能成立.即d12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二解法二: :如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-1440.(*)它的判别式=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2(3n2+15)2-144=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-30,因而0,故(*)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三解法三: :如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即=a2+12b-1800,(*)由(*)得12b-180-a2.由(2)成立知a2+b2144,(*)即 -a2b2-144.因此,12b-180b2-144,即 (b-6)20,第 16 页 共 16 页由此得出b=6.把b=6代入判别式(*),得出a2108,但把b=6代入(*),得出a2108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九九、( (本题分数不计入总分本题分数不计入总分) )本题考查导数的几何意义本题考查导数的几何意义, ,利用导数解决函数的最大值利用导数解决函数的最大值、最最小值问题的能力小值问题的能力. .解解: :已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间0,2上的最小值.因为当00,因此r是增函数,故r在区间0,2的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.

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