经济系统的动态分析教案

1、教材: 经 济 系 统 的 动 态 分 析n 王 翼 王歆明 编著n 机械工业出版社n 2008年1月第1章 引论n1.1经济系统的动态分析与动态经济学n现实世界的经济系统是复杂的，家庭、公司、市场等方 面相互作用。经济学家不仅需要知道这些方面相互作用 的结果，而且需要知道这些相互作用是如何发生的，这 需要进一步探求它们相互作用的机理，了解其变化过程 ，为此需要建立经济系统的动态模型，并依据它对经济 系统进行动态分析。n在现代西方经济学中，特别是高级宏观经济学中，大量 运用了动态分析方法。 1.2 对经济系统进行动态分析的 基本内容n对经济系统进行动态分析，需要建立经济 系统的数学模型.n动态经济系统的数学模型一般是一个微分 方程（连续时间的情况）或差分方程（离 散时间的情况）。n连续时间动态经济系统的数学模型的一般形式 是一阶微分方程组n 这里 是维状态向量，是维控制 向量（或决策向量）。状态向量全面描述了经 济系统的状况，是决策者在时刻面临的状态。 状态向量的每一个分量称为状态变量，由维状 态向量构成的线性空间称为状态空间。n 称为控制变量，控制变量 或称决策变量、选择变量，可以用

2、于驱使 经济系统从一个不太理想的状态到一个较 为理想的状态。n离散时间动态经济系统的数学模型的一般 形式是一阶差分方程组这里不再详细讨论。n有时经济模型中不出现控制向量，这时数 学模型为一阶微分方程组n 或一阶差分方程组n 它们描述了状态变量自身随时间的演化 。据此可以求出状态变量随时间演化的情 况，可以分析它们的均衡状态，及均衡状 态的稳定性。n在研究动态经济系统的动态最优化问题时 ，最优解满足的必要条件也需要用微分方 程或差分方程描述，需要懂得微分方程或 差分方程的基本知识并会求解。因此对经 济系统进行动态分析的第一个基本内容是 ：微分方程或差分方程的求解和均衡状态 的稳定性分析。特别对于二维自治系统将 引进相图分析法，甚至在没有给出函数的 具体形式，而仅知道它的某些性质时，也 能应用相图分析得到很多有用的结论.n在动态经济学中则是研究经济当事人在一 个较长时期内的行为最优化，从而导致动 态最优化问题。越来越受到人们重视的最 优经济增长问题就是一个动态最优化问题 。这使得动态最优化或最优控制理论在动 态经济学中得到了非常广泛的应用，并且 常被称为跨期最优化问题。n动态最优化问题的一

3、般形式是nn或者n这时目标函数是在计划期内收益的总和，连续 时间的情况是一个积分，离散时间的情况是各 期的收益的总和。式中 是控制变量允许取的 函数的集合。例如当是储蓄在国民收入中所占 的比例时，允许控制的集合表示为： 。n【例1-2】某基金会获得一笔基金20万元 ，准备存入银行在60年内奖励某些方面有 特殊贡献的人。基金会准备在第60年留下 3000元处理基金会的结束事务。假设每 年取用的奖金在1.5万元至4万元之间，已 知银行的利率为年利10%，设计一个使 用奖金的最优策略，使基金会在60年内从 银行取走作奖金的钱的总和最多。n设基金会在银行的存款数为 ，每年取 用的钱数为 ，则该系统的状态方程为n 问题为求 使 ，并使基金会内 从银行取走作奖金的钱的总和n最大。n这里 是决策变量，它是定义在 上的函数， 是目标函数，因为它依 赖于函数 ，是函数的函数，称为目 标泛函，这是一个典型的跨期最优化问题 或动态最优化问题，并简记为：【例1-3】简单的最优经济增长 问题n设经济的总产出仅依赖于使用的资本的数 量 ，总产出或总收入是消费和投资 的和，计划者的目标是使计划期内的总效 用最大。投

4、资定义为资本存量的变化率： ，效用函数仅依赖于消费 记为 ，生 产函数 为。于是有均衡方程n 由此得到描述该经济系统的微分方程n设计划期开始时的资本存量为 ，要求计划 期末的资本存量为 ，则计划者的最优经济 增长问题是求最优消费策略 ，使满足 ，并使总效用最大。这个问题可以简单地表示 为：nn约束表示消费不能是负的也不能超出当期的产 出，已经形成的资本不能再用做消费。两种极端的策略显然不是最优的：取，称为两种极端的策略显然不是最优的：取，称为“ “ 勒紧腰带勒紧腰带” ”的策略，效用为的策略，效用为0 0，显然是不行的，显然是不行的 ；取，称为；取，称为“ “吃光用光吃光用光” ”的策略，生产不能发的策略，生产不能发 展，影响生产的发展，进而影响未来消费的展，影响生产的发展，进而影响未来消费的 增加，总的效用也不会是最大。因此，这样增加，总的效用也不会是最大。因此，这样 的决策问题在决定今天的消费时需要同时考的决策问题在决定今天的消费时需要同时考 虑到对未来消费的影响，称为跨期最优化问虑到对未来消费的影响，称为跨期最优化问 题。题。 这是一个最简单的最优经济增长问题，但它这是一个最简单

5、的最优经济增长问题，但它 描述了最优经济增长问题的最基本的特点和描述了最优经济增长问题的最基本的特点和 结构，它是一个典型的最优控制问题。结构，它是一个典型的最优控制问题。n求动态最优化问题的解，或对它进行 定性分析是对经济系统进行动态分析 的第二个基本内容。这方面将介绍变 分法、最优控制、动态规划和微分博 弈。n我们的第3个基本内容是综合应 用所讲的基本知识和方法对几个 典型的经济系统进行动态分析1.3 Matlab在经济系统的动态 分析中的应用n1. 计算机数学语言Matlabn1. 计算机数学语言MatlabnMatlab是Math Works公司推出的计算 机数学语言，它的含义是矩阵实验室 (Matrix Laboratory)。Matlab有很强 的数值运算能力，编程也很方便，具有语 言简洁，数据描述简单方便，输入简便， 输出灵活多样等特点，可用来解决多种学 科的科学计算、仿真和图形显示等问题。 Matlab的一个重要特点是易于扩展，允 许用户自行建立完成特定功能的Matlab 文件，从而构成适合其领域的工具箱。由 于Matlab的强大功能，再加上它简单易 学，Matlab已

6、成为当前自然科学和社会 科学的很多学科的首选计算机数学语言。2 应用Matlab进行动态分析n Matlab主要应用于以下几个方面： (1) 求差分方程组的解，离散时间经济系统的稳 定性分析和相平面分析； (2) 求微分方程组的解，连续时间经济系统的稳 定性分析和相平面分析； (3) 解动态最优化问题，或对动态最优化问题的 解进行相平面分析； (4) 对各类问题的计算结果进行图象分析，使之 得到更直观更清晰的结论； (5) 经济模型中常含有多种参数，应用Matlab 可以方便地分析各种参数对动态经济系统的影 响，即进行比较动态分析。 在对经济系统进行动态分析时，有了Matlab可 以说是如虎添翼，使得在研究中可以得心应手 地使用各种数学工具，使得研究者可以非常方 便地分析和对比各个参数的变化对经济系统的 影响。第2章 微分方程2.1连续时间动态经济系统的数学 描述-微分方程1微分方程和它的阶 微分方程是一个包含未知函 数的导数的方程式。微分方 程中所含导数的最高阶数称 为这个微分方程的阶。在研 究经济系统时，自变量常常 是时间，常遇到的一阶微分 方程的一般形式为(2-1)1微分方程和它

7、的阶n微分方程是一个包含未知函数的导数的方程式 。微分方程中所含导数的最高阶数称为这个微 分方程的阶。在研究经济系统时，自变量常常 是时间，常遇到的一阶微分方程的一般形式为n (2- 1)nn阶微分方程的一般形式为(2-2)n如果式(2-2)右端的函数不显含,则方程(2-2) 化 为(2-3)n称为阶自治微分方程，意思是由和它的直到阶 导数自身决定，而不依赖时间， 式(2-2)则称为阶非自治微分方程。如果描述经济系统的微分方程是自治的，表 明描述经济系统的状态的函数的整体变化规律 不随时间的推移而改变。2.线性经济系统和线性微分方程n在经济系统的数学描述中，如果出现的函数关 于未知函数和它的导数都是线性的。或者说方 程(2-2)中的函数f关于x和它的各阶导数是线性 函数，则称微分方程(2-2)为线性微分方程，否 则称为非线性微分方程。线性微分方程描述的 经济系统称为线性经济系统。阶线性微分方程 的一般形式为(2-4)n当微分方程(2-4)右端为0时，微分方程(2-4)称 为齐次微分方程，否则称为非齐次微分方程。3.微分方程的通解和特解n如果一个函数代入微分方程中，使微分方 程在区间上成

8、为一个恒等式，则称这个函 数在该区间上是微分方程的解。阶微分方 程的通解是指它的包含个任意常数的解。 微分方程的一个不包含任意常数的解称为 微分方程的特解。4.初值问题的解n一阶微分方程的解中包含一个任意常数， 在经济模型中任意常数要通过经济变量的 进一步的信息来确定。最常见的补充信息 是经济变量的初始值，由初始值确定待定 常数是最常见的一类问题，这类问题称为 初值问题，或初始问题n如果在区间上，求微分方程的解，已给的 条件是未知函数在终端时刻的值，则称为 微分方程的终值问题。2.2微分方程组n很多经济系统具有多个状态变量，它的动 态模型包含多个微分方程。两个以上的微 分方程共同描述一个系统，称为微分方程 组。由高阶微分方程描述的经济系统化成 一阶微分方程组再进行处理。1.化高阶微分方程的初值问题为 一nn阶线性微分方程的通解包含个任意常数，因此 确定它的特解需要个初始条件， n阶线性微分方 程的初值问题是n (2-10)n (2-11)引进新的变量 由上面的关于的定义及方程（2-10 ），得到一个包含个一阶微分方程 的方程组： 这个微分方程组的前个方程是由新 变量的定义直接得到的，最

9、后一个 方程是直接由方程(2-10)得到的，n 个未知函数满足的初始条件可以直 接由(2-11)得到，它们是 这样就得到了与n阶线性微分方程的 初值问题等价的一阶线性微分方程 组的初值问题。n引进新的变量n由上面的关于的定义及方程（2-10），得到一 个包含个一阶微分方程的方程组：n这个微分方程组的前个方程是由新变量的定义 直接得到的，最后一个方程是直接由方程(2-10) 得到的，n个未知函数满足的初始条件可以直接 由(2-11)得到，它们是向量-矩阵形式。n引进向量和以及矩阵n则上述微分方程组可以写成如下的向量- 矩阵形式n再引进向量n则初始条件也可以写为向量形式n线性微分方程的初值问题的一般形式为n记n 则上初值问题可写为2. 一阶微分方程组解的存在性 和唯一性n初值问题解的存在性和惟一性定理 在一 阶微分方程组的初值问题 中，如果 的分量 在区 域 ： n中对于所有变量连续可微，则存在正的常 数 ，使得初值问题在区间 上的解存在且惟一。2.3 一阶线性微分方程组的解n1.线性方程组的基本性质 线性微分方程组有如下基本性质：n(1)非齐次线性微分方程组 的一个特解与相应的齐次线性微分方程组 的通解的和是非齐次

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