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13-14(1)复变函数与积分变换试卷A -答案

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1、 1浙江工业大学浙江工业大学 2013/2014(一一)期末考试试卷期末考试试卷(A) 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2014.01 任课教师学院班级学号姓名上课班中编号成绩一填空题（每空 3 分, 共 30 分） 1. 设81 1izi, 则复数2014201333zz的值为= 1 。 2. ii 的值为 (2)2,kekZ , 且Arg( )ii= 2,nnZ 。 3. 设12+CCC,1C 为正向圆周| |=1z,2C 为负向圆周| |=2z, 则3cosd Czzz = 0 。 4. 设C为从1=0z到2=1zi 的直线段, 则Re( )d Czzz= 2 3i。 5. 幂级数0( 1) cos( )nnnin z的收敛半径R= 1 e。 6. 函数12( )=1zf zez在z =0处的奇点类型为一级极点 (可去奇点、极点或本性奇点, 如是极点, 指出其级数), 且Res ( ),0=f z -1 。 7.( )ttF F 0 , 其中( ) t为单位脉冲函数。 8. 设( )cos(2 )f ttt, 则( )f t的拉普拉斯变换)(sF= 2224

2、 (4)s s 。二单项选择题（每题3分, 共12分） 1. 下列命题正确的是 ( B ) (A) 如果( )f z在0z点可导, 那么( )f z在0z点解析; (B) 如果( )f z在0z的某一邻域内可展成幂级数:00 0( )() ,|n n nf zczzzzR, (0)R , 则( )f z在0z处解析; (C) 如果( , )u x y和( , )v x y一阶偏导数存在, 那么uiv也可导; (D) 复变函数( )2f zx在整个复平面上解析. 22. z 是3sin( )zzf zz的 ( C ) (A) 可去奇点 (B) 一级极点 (C) 本性奇点 (D) 非孤立奇点 3. 级数 1( 1)1 2nn nin的收敛性为 ( B ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不能确定 4. 设( )f z在单连通区域B内解析, C为B内任一简单闭曲线, 则必有 ( D ) (A) Im ( )d0 Cf zz ; (B) Re ( )d0 Cf zz ; (C) |( )|d0 Cf zz; (D) Re( )d0 Cf zz . 三(本题8分) 设

3、zxiy, 函数3223( )()f zxxyi x yy, 1. 试判断函数( )f z在复平面上何处可导？何处解析？ 2. 在( )f z的可导点处求出其导数( )fz。解. 1. 3223,uxxyvx yy 22223,2, 2, 3uuvvxyxyxyxyxyxy.2分 22,0uvxyxy uvxyyx 0xy.4分所以，( )f z只在(0,0)处可导，.5分处处不解析。.6分 2.(0,0)0uvfixx.8分四.(本题7分)：由调和函数2 (1),uxy求解析函数ivuzf)(，其中zxiy. 解. 2(1),2 ,xyuy ux .2分 ( )2(1)222 ,xyfzuiuyi xiz.5分 2( )( )2f zfz dzizzC.7分注：(1)用其他方法先算出v,也是对的, (2)( )f z的表达式也可以写成x,y的形式。 3五. (本题10分) 将函数25( )732zf zzz分别在圆环域1| 23z和2 | z 内展开成洛朗级数。解. 2512( )732312zf zzzzz.2分 (1) 1| 23z, 1 00111111 131

4、33(3 )(3 )13nn nnzzzzz z ,.4分 021 2212nn nz zz.6分 1 001( )(3 )2nnn nnzf zz (2) 1 31z 的展开式同上， 11 00221222 221nnnn nnzzzzz z .8分 1 11 011( )23n nn nf zz .10分 4六(每小题5分, 共15分) 计算以下积分的值。（积分闭曲线均取正向） 211.d , :2(1)(2)2CzzCzzz 解. 只有奇点z=2在C的内部，由留数定理 22d2 Res,2(1)(2)(1)(2)Czzzizzzz .2分 22 lim21zziiz .5分或者用柯西积分公式。 2 | | 2tan22.dzzzz 解. 只有奇点z=0在C的内部，由柯西积分公式 2 | | 20tan2d2tan2zzz zziz .3分 i .5分 3| | 113.cosdzzzz 解. 只有奇点z=0在C的内部，由留数定理 33| | 111cosd2 Rescos,0zzzizzz .2分 33 2411 11 1cos(1.)2!4!zzzzz， 11 4!c.5分

5、 3| | 111cosd2 4!12zizziz 5七（本题10分）设函数2( )( ),tf teu t其中( )u t为单位阶跃函数: 0, 0,( )1, 0tu tt(1) 求函数( )f t的 Fourier变换 ( )f t F F , (写出必要的计算过程); (2) 求证Fourier变换的位移性质: 0 0()( )itFef t F F , 其中( ) ( )Ff t F F ,0为实常数; (3) 利用(1)和(2)的结果, 求2( )sin teu ttF F。解. (1) ( )( )i tf tf t edt F F (2)01 2itedti .3分 (2) 000() 0( )( )( )()itititi tef tef t edtf t edtF F F .5分 (3) 221( )sin ()( )2tititteu tteeeu tiFFFF.7分 1( )( )2itite f tef tiF F1 (1)(1)2FFi.9分 2111122(1)2(1)(2)1iiii.10分 6八(本题8分): 利用Laplace变换求下列微分方程的解： 1)0()0(,34 yyeyyyt. 解. 令 ( )( )y tY s L L ，方程两边取Laplace变换得 21( )14( )43 ( )1s Y sssY sY ss .4分 2266( )(1) (3)ssY sss2711131 412 (1)43sss.6分 373( )424tttty teee.8分

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