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小学数学丨汉声数学绘本41套31.椭圆

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常见问题

1、从不同的角度来看，玻璃杯口会有不同的形状。如果你是横着拿，正看杯口，它就是个圆形。如果把玻璃杯慢慢倾斜，做出要喝水的动作，那么杯口从左到右的距离，也就是圆的宽不会改变。但是，圆的上、下却越来越扁。这个新的形状是 “椭圆”。越倾斜杯子，杯口所形成的椭圆越扁。只要你把玻璃杯倒着拿，杯口朝下，杯口看起来就是一条线段。这时候，椭圆的上、下合而为一。如果你继续转动杯子，线段又渐渐分开了，形成一个扁平的椭圆。再转下去，杯口的上、下缘越离越开。当你把杯底朝向自己，从杯底望进去，杯口又恢复成圆。玻璃杯口的变化过程是从“圆”，到椭圆”，到“线段”，变回“椭圆”，最后回到“圆”。因为我们从偏斜的角度来看，所以常把圆的东西看成椭圆的。小碟子是圆的，但是，当你站远点看桌上的小碟子，它看起来就是椭圆。当你走向桌子，碟子的上、下缘会越离越开。等你走到桌子旁边，从上俯看，小碟子又是圆的了。你家有没有钟面是圆形的钟？你家的钟是挂在架子上、橱柜上，还是挂在墙上？如果你正对着钟，钟面看起来是个圆。如果你走到旁边去看，钟面看起来是个椭圆。你站的位置越偏，钟面越狭长。

2、找找看，还有哪些圆形的东西会产生同样的变化？这儿有几个例子：电话的拨号盘，墙上挂的照片或镜子车轮呼啦圈有些东西是做成椭圆的，但如果你斜着拿，看起来会是圆的。有些镜子是椭圆的。有些相框也是椭圆的。教室的球形把手有的是椭圆的。有些鱼罐头也是椭圆的。有时候，香蕉切片也是椭圆的。如果刀面垂直往下切，香蕉切片很可能是圆的。如果刀面斜着切下，香蕉切片就是椭圆的。刀面越斜椭圆越狭长。让我们试着在长方形里画个椭圆。首先，画一个长方形。然后画一条线，连接长方形上、下两边的中点。再画一条线，连接长方形左、右两边的中点。在长方形的四个中点上，各画一小段弧。你可以从这四小段弧开始画椭圆。现在，画可能把这四小段弧圆滑的连接起来，椭圆就画成了。你画的椭圆不应该有尖角。如果你想画一个上、下长，左、右短的椭圆，就先画一个又高又瘦的长方形。然后，再照前面的步骤来画就成了。你也可以把前面画好的椭圆转九十度。这个椭圆会不会让你联想到脸的形状？试试看，你能不能在这张脸上画上眼睛、鼻子、嘴巴、耳朵和头发。当然，没有一张脸正好是椭圆形的。但如果先画一个椭圆，脸就能画得比较好看。试着画

3、一些高高瘦瘦、矮矮胖胖，不同大小的长方形。并在长方形里画一些椭圆。你画的椭圆可能不是很标准。要画标准的椭圆，你可以准备一段细绳、两个圆钉和一把尺。我们要在同一张纸上画很多个椭圆。首先，把尺放在纸中央，尺的刻度要从左到右。在三公分、六公分、九公分、十二公分的地方各点一点。在第一站和第二站的中间点一点。接着，在第二点和第三点的中间点一点；第三点和最后一点的中间再点一点。现在，你已经画了七个点了。把尺拿开，依次序从左到右，在点下面写上 1、2、3、4、 5、6、7.将这张纸放在一大叠报纸上。把图钉钉在点 1 和点 7 的地方。用细绳绑成的绳圈围住这两个图钉，但不要太紧。现在，把铅笔放在绳圈内，紧拉着绳圈绕着图钉移动。注意，绳圈要拉紧。如果你的纸不够大，你可以找一张报纸，用色笔来画。绕一圈后，你就画出一个椭圆了。图钉所钉的那一点就是椭圆的焦点。每一个椭圆都有两个焦点。只要有两个图钉、一段细绳和一支铅笔，你就可以任意钉两点当做焦点，画一个椭圆。现在，试试改变图钉钉的位置。把图钉钉在点 2 和点 6。用同一条绳圈，画第二个椭圆。这个椭圆和第一个椭圆有什么不

4、同？再把图钉钉在点 3 和点 5。用同一条绳圈，画第三个椭圆。这个椭圆是比较像圆，但是还是个椭圆。第一个椭圆第二个椭圆绳圈绳圈假设要把两个图钉钉在点 4，因为点 4 只是一个点，所以只要一个图钉就够了。用同一条绳圈围住图钉。再用铅笔拉紧绳圈绕着图钉移动。绕一圈后，画出的是一个圆。这就是说，圆是椭圆的特例。当椭圆的两个焦点是同一个点时，画出的就是个圆，那一点就叫做“圆心”。在前面实验中，你用的是同一条绳圈，只改变图钉的位置。如果图钉的位置不变，但用不同的绳圈，会画出什么形状？让我们来画画看。另外拿一张大纸，依照前面的步骤，标出点 1、2、3、4、5、6、7。把图钉钉在点 1 和点 7，用原先那条绳圈，画一个椭圆。图钉仍然钉在点 1 和点 7，用另一条较大的绳圈，画另一个椭圆。再用另一条更大的绳圈，画另一个椭圆。继续加大绳圈，画更大更多个椭圆。你画的这些椭圆的焦点都相同的，称为“同焦椭圆”。第一条绳圈第二条绳圈第三条绳圈第四条绳圈最后一条绳圈如果你把一个图钉固定钉在点 1，另一个图钉钉在点 7，然后钉在点 6，点 5，

5、点 4，点 3，点 2，你能想像会画出什么形状吗？试试看。宇宙中也看得到椭圆。地球绕着太阳运转的轨道就是个椭圆。你可以画这样的图。依照前面的做法，在纸上标出点 1、2、3、4、 5、6、7。把图钉钉在点 3 和点 5。用第一个实验时用的绳圈，画一个椭圆。绕着点 5 画一个圆，写上“太阳”。现在，在椭圆上任一点画一个小圆，写上“地球”。地球太阳你画的图显示了地球公转的轨道。这个轨道是个椭圆。太阳就是这个椭圆的一个焦点。另一个焦点上，没有任何星球。在你画的图中，地球离太阳只有几公分远。事实上，地球离太阳有十四亿九千万公里远。你画的太阳只比地球大一点点。事实上，太阳比地球大上一百万倍呢！这儿还有另一个实验。在一间黑暗的房间，拿一把手电筒，让手电筒的光正射在墙上，这时墙上会出现圆形的光圈。如果你将手电筒稍微倾斜，光圈就变成椭圆形了。手电筒越倾斜，墙上的椭圆越变越长。当你把手电筒斜到某一角度，墙上的椭圆会裂开，形成“抛物线”。如果光圈不清楚，把手电筒靠近墙些。投射在墙上的影像是这样的像这样拿手电筒圆椭圆椭圆椭圆再倾斜手电筒，抛物线的形状就跟着改变。继续倾斜手电筒，抛物线越来越尖，这个形状叫“双曲线”。手电筒越倾斜，双曲线的顶端就越尖。如果手电筒离墙很近的话，双曲线最后会变成两条相交的直线投射在墙上的影像是这样的像这样拿手电筒抛物线双曲线双曲线两条直线光圈变化的过程是从“圆”，到“椭圆”，到“抛物线”，到“双曲线”，最后到“两条直线”。这些图形是属于同一家族的。圆椭圆抛物线双曲线两条直线看完这本书，我们已经认识了这个家族中的一员：“椭圆”。

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