全国大学生数学建模竞赛论文-关于太阳影子定位的模型研究

1、1关于太阳影子定位的模型研究摘要太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点与日期的一种方法。如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。而本文主要研究的就是通过太阳影子的变化来确定物体地点和日期的问题。针对问题一，要确定直杆太阳影子长度的变化曲线，本文用太阳高度角、赤纬角、时角、经度和纬度之间的关系建立函数模型，利用 合出影子长度随时间的变化曲线。针对问题二，要求根据直杆影子顶点坐标求出直杆所在地的位置，根据经纬度等变量之间的关系，建立函数模型： 2)3015( s通过 的 法求解出直杆所在地的经纬度 )可知直杆所在地为海南省昌化港。并利用 合得到了直杆影长与时间之间的函数，进而验证了该模型的合理性。针对问题三，要求根据直杆影子顶点坐标求出直杆所在地的位置与日期，我们对问题二的模型进行反推得到附件 2 直杆所在经纬度 ，为 6 月 1 日的新疆阿克苏；附件三直杆所)2在经纬度 ，为 4 月 24 日的蒙古赛音山达附近。)19.(针对问题四，要求确定视频的拍摄位置与日期，我们用 图软件处理截取图像中相对杆长与相对影长，结合问题二中模型得到视频的拍

2、摄地点为山西吕梁或内蒙古包头。对于拍摄时间未知的问题，利用类似方法得到直杆所在地为 6 月 30 日的内蒙古鄂尔多斯或 6 月 29 日的内蒙古包头。关键词：太阳影子定位； 最小二乘法；太阳高度角；赤纬角 1、问题提出如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。根据太阳影子定位技术建立模型，解决下列问题：析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间9:000 之间天安门广场（北纬 东经 ）3 米高265439291直杆的太阳影子长度的变化曲线。立数学模型确定直杆所处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据中，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4附件 4 为一根高度大约 2 米的直杆在太阳下的影子变化的视频。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并用模型给出若干个可能3

3、的拍摄地点。如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题分析针对问题一，要求建立影子长度变化的模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，通过应用太阳高度角、赤纬角、时角、经度和纬度之间的关系建立模型，利用 合出影子长度随时间变化的曲线。针对问题二，要求根据直杆影子顶点坐标求出直杆所在地的位置。对于所求问题，我们建立关于高度角、赤纬角、经纬度等变量之间的函数模型，采用 方法求解出直杆可能所在的位置。接着我们用 小二乘法拟合曲线验证了该模型的合理性。针对问题三，要求根据直杆影子顶点坐标求出直杆所在地的位置与日期。我们在问题二模型的基础上，重新设置变量建立了新的函数模型，用 解出直杆可能所在位置与日期。针对问题四，要求根据一根已知高度的直杆在太阳下影子变化的视频确定视频的拍摄位置与日期。我们截取了 14 个时刻的视频图片，用 图软件测出直杆的相对影长与杆长(见附件 10)，并建立函数模型，得到视频拍摄的位置与日期。三、定义与符号说明符号 含义度太阳赤纬角时角 1 月 1 开始计时)题一模型的建立与求解5图 1纬角示意图 图 1度角示意图对于赤纬角 2365)284(（1）由题

4、意知，直杆影长变化的时间是 2015 年北京时间 10 月 22 日，可取 ，由 (1) 得295n 于地方时 3)12(5T（2）地球上经度每相隔 ，地方时相差 4 分钟，故有地方时 与已1 关系分 钟经 度 差 ）直杆所在地点是北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒，所以可以由（2）得出从 9:00 到 15:00 各个时刻的 。对于太阳高度角 2H（4）直杆影长 、杆长 、太阳高度角 几何关系 :5） 然后，我们利用 件得到了直杆影长在 中随时间变化的曲线，如图 1示（源文件见附表0:15:9（1）。7图 1型的建立与求解由题意得测量日期是 2015 年 4 月 18 日，可算出日期序号，由（1）得：08n 直杆长 ，影长 ，而 与影子顶点坐标 有：6）结合 (5)得：822（7）由(2)、(3)可得：30158）结合公式（4）得到：)3015 （9）下面我们假设函数： 2)3015( s（10） 而后在附件 1 中选取六组数据分别代入（10），利用 最小二乘法 来求出杆长 、经度 与纬度 ，从而确定直杆所6 的地点。所得情况如图 2程序见附表

5、(2)）。序号 北京时间 X 坐标（米） Y 坐标（米） 影长（米） 经/纬度（度）14:42 0 0 990/2 9 1 485/5 5 9 433/4:48 0 4 1 2 2 285/4 8 3 289/以附件 1 直杆的经纬度坐标可取 ，使)用谷歌地球得知，此地处于海南省昌化港(图 2图 型的验证根据附件 1 中某直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标，可以通过 件求出直杆在在个时间段的影子长度(图 210图 2由 合出从 14:42 到 15:42 里1影长随时间的变化曲线，如图 2程序见附表(3)）。11图 211） 分钟为间隔，拟合影长从 10:00 到 16:00 的随时间的变化曲线，如图 2程序见附表 (4)）。12出，当 中，北京时间 恰是该地区正午时间 ，12而北京时间所在经度为东经 ，故在公式 (3)中：， ,经度差=T.s f120可得所求经度： 以一年太阳直射点的移动纬度是 。现取65 天，所以太阳每天移动纬度为 。2015 年春分是 3 月 21日，而附件 1 的时间为 2015 年 4 月 18 日，可知此时的太阳直射点的纬度： 据正午太阳高度的计算公式：（12）是太阳直射点的纬度。 在模型的求解中已得杆长 米，结合 (5)、(12)可得：0392.得纬度： 2647.所以附件 1 直杆的经纬度坐标为 ，使用)2647.,0195.(谷歌地球得知，此地处于广东省茂名市，如图 24图 2模型的建立较为合理。题三模型的建立与求解设直杆长 ，影长 ，而 与影子顶点坐标 有：结合 (5)可得：22由 (2)、(3)可知时角3015合 (4)得到：15)3015 （13）结合 (1)建立模型： 2)3015 s （14） 在附件 2 中选取八组数据代入函数（14），在 用最小二乘法求出时间序号 、杆长 、经度 与纬度 ，从而确直杆所处的位置与日期。如图 3程序见附表 (5)）。序号 北京时间 X 坐标（米） Y 坐标（米） 影长（米） 经/纬度（度）12:41 3 8 5 946/4 2 0 1 203/38.

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