2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.3　函数的最大（小）值与导数 Word版含解析

1、1.3.3函数的最大(小)值与导数,1.理解最值的概念,了解函数的最值与极值的区别和联系. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次,1.函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值 一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得,做一做1】 设在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题: 若f(x)在区间a,b上有最大值,则这个最大值必是a,b上的极大值; 若f(x)在区间a,b上有最小值,则这个最小值必是a,b上的极小值; 若f(x)在区间a,b上有最值,则最值必在x=a或x=b处取得. 其中真命题共有() A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:由于函数的最值可能在区间a,b的端点处取得,也可能在区间a,b内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题都不是真命题. 答案:A,2.求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; (

2、2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 名师点拨如果函数f(x)在闭区间a,b上恰好是单调函数,那么函数f(x)的最值恰好在两个端点处取得.当f(x)在闭区间a,b上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间a,b上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值,做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间-1,1上的最大值与最小值分别为. 解析:f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,所以当x=-1时,函数f(x)取最小值f(-1)=8; 当x=0时,函数f(x)取最大值f(0)=12. 答案:12,8,1.如何理解函数的极值和最值? 剖析(1)极值反映的是函数在某一点附近的局部性质:如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点,那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值;最值反映的是函数在整个定义域内的性质:如果x0是函数y=f(x)的最大(小)值点,那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x

3、)在定义域内的所有函数值. (2)函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有. (3)函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点. (4)在区间I上,若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且函数f(x)在区间I上只有一个极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值,2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的最值情况如何? 剖析在区间(a,b)内,当函数f(x)的图象是一条连续的曲线时,f(x)在(a,b)内不一定有最值.常见的有以下几种情况: 如图,图中的函数y=f(x)在区间(a,b)内有最大值而无最小值; 图中的函数y=f(x)在区间(a,b)内有最小值而无最大值; 图中的函数y=f(x)在区间(a,b)内既无最大值也无最小值; 图中的函数y=f(x)在区间(a,b)内既有最大值也有最小值,题型一,题型二,题型三,题型四,求函数的最值 【例1】 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x-1,3,分析:求f(x)令f(x)=0得到相应的x的值划分区间列表观察在相应区间内的单调

4、性确定极值点求极值与端点值并比较大小确定最值,题型一,题型二,题型三,题型四,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表,当x=3时,f(x)取得最大值18,题型一,题型二,题型三,题型四,当x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表,所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2时,f(x)有最大值f(2),题型一,题型二,题型三,题型四,反思求解函数在固定区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导; (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值; (3)在比较极值与端点函数值的大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,由函数的最值求参数的值 【例2】 如果f(x)=ax3-6ax2+b,那么是否存在实数a,b,使f(x)在区间-1,2上取最大值3、最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 分析:解答本题可先求f(x),再确定f(x)在区间-1,2上的单调性及最值,最后建立方程组求出a,b的值. 解:存在. 显然a0,f(x)=

5、3ax2-12ax. 令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去). 当a0,且x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,题型一,题型二,题型三,题型四,所以当x=0时,f(x)取极大值,f(0)=b. 又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,且a0, 所以f(0)f(-1)f(2), 所以当x=0时,f(x)取最大值,即b=3; 当x=2时,f(x)取最小值, 即f(2)=3-16a=-29,所以a=2. 当a0,且x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,题型一,题型二,题型三,题型四,所以当x=0时,f(x)取极小值,f(0)=b. 又f(2)=b-16a,f(-1)=b-7a,且af(-1)f(0). 所以当x=0时,f(x)取最小值,即b=-29; 当x=2时,f(x)取最大值, 即-16a-29=3,所以a=-2. 综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 反思1.用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似,当给定区间是闭区间时,极值要和区间端点的函数值进行比较,并且要注意极值点是否在区间内. 2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导

6、数的方法求解,题型一,题型二,题型三,题型四,变式训练2】 已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)-2c2恒成立,求c的取值范围. 解:由题意知f(1)=-3-c. 所以b-c=-3-c,即b=-3,x3(4aln x+a+4b). 由题意知f(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12. 所以f(x)=48x3ln x(x0). 令f(x)=0,解得x=1. 当01时,f(x)0,此时f(x)为增函数. 所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,并且此极小值也是最小值,题型一,题型二,题型三,题型四,所以要使f(x)-2c2(x0)恒成立, 只需-3-c-2c2即可,题型一,题型二,题型三,题型四,与函数最值有关的综合题,1)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,令其最小值为(a),求(a)的解析式; (2)结合(1)中的(a),证明:当a(0,+)时,(a)1. 分析: (1)利用导数求h(x)的最小值,注意对参数a进行分类讨论;(2)转化为求(a)的最大值即可

7、,题型一,题型二,题型三,题型四,当a0时,令h(x)=0,解得x=4a2,所以当04a2时,h(x)0,h(x)在区间(4a2,+)内递增. 所以x=4a2是h(x)在区间(0,+)内的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点. 所以最小值(a)=h(4a2)=2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a,无最小值.故h(x)的最小值(a)的解析式为(a)=2a(1-ln 2a)(a0,题型一,题型二,题型三,题型四,2)证明:由(1)知(a)=2a(1-ln 2a),则(a)=-2ln 2a,所以当a(0,+)时,总有(a)1. 反思在本例第(2)小题中,将证明不等式成立问题转化为研究一个函数的最大值问题,可以使问题变得容易,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)f(x)=-x2+x+2a,题型一,题型二,题型三,题型四,所以f(x)在区间(-,x1),(x2,+)内单调递减,在区间(x1,x2)内单调递增. 当0a2时,有x11x24, 所以f(x)在区间1,4上的最大值为f(x2,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:混淆极值与最值而致错,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:错解中出错的主要原因是误认为极值就是最值,其实极值与最值是两个不同的概念.函数可能有多个极值,对于连续函数在闭区间上的最大值与最小值只能各有一个,只有当在一个区间上的极值只有一个时,这个区间上对应的极值才是最值,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:因为f(x)=sin 2x-x,所以f(x)=2cos 2x-1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表

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