2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.1.1　数系的扩充和复数的概念 Word版含解析

1、3.1.1数系的扩充和复数的概念,1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法,1.复数的概念及代数表示法 (1)定义:我们把集合C=a+bi|a,bR中的数,即形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定ii=-1,即i2=-1. (2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,bR),应注意其虚部是b,而不是bi. 2.对于复数z=a+bi,只有当a,bR时,才能得出z的实部为a,虚部为b.若没有a,bR这一条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部,做一做1-1】 复数z=5-6i的实部等于,虚部等于. 答案:5-6,2.复数相等的充要条件 在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,dR),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d . 温馨提示应用两

2、个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解. 【做一做2】 满足x+y+(x-y)i=2的实数x,y的值为 (,答案:B,3.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b0时,叫做虚数;当a=0,且b0时,叫做纯虚数. 这样,复数z=a+bi(a,bR)可以分类如下,2)集合表示,温馨提示实数集R是复数集C的真子集,即RC.至此,我们学过的有关数集的关系为:N*NZQRC,0.618,其中纯虚数的个数是() A.0B.1C.2D.3,答案:C 【做一做3-2】 “a=0”是“复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:由复数的概念知,若a+bi为纯虚数,则必有a=0成立,即为必要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B. 答案:B,1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析数系扩充的脉络是:自然数系整数系有理数系实数系复数系,用集合符号表示为NZQRC. 从自然数

3、系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,2.如何理解虚数单位i? 剖析在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x2+1=0,为解决解方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定: (1)它的平方等于-1,即i2=-1. (2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律. 因为i20与实数集中a20(aR)矛盾,所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立,3.如何理解复数的分类? 剖析(1)复数的分类如下,2)各类特殊的复数是由其实部、虚部所满足的条件所确定的,因此在解决具体问题时,应根据这些条件列出实部与虚部应满足的等式或不等式进行求解. (

4、3)若z是纯虚数,可设z=bi(bR,b0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,bR,且b0);若z是复数,可设z=a+bi(a,bR,题型一,题型二,题型三,复数的概念和性质 【例1】 判断下列说法是否正确: (1)若zC,则z20; (2)复数由实数、虚数、纯虚数构成; (3)复数2+3i的虚部是3i; (4)若a,bR,且ab,则a+ib+i; (5)在复数z=x+yi(x,yR)中,若x0,则复数z一定不是纯虚数. 分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例. 解:(1)错,如z=iC,但i2=-10. (2)错,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数. (3)错,复数2+3i的虚部是3. (4)错,当a,bR时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小. (5)正确,若复数z=x+yi(x,yR)是纯虚数,必有x=0,y0,因此只要x0,复数z一定不是纯虚数,题型一,题型二,题型三,反思判断有关复数概念的命题的真假,注意以下几点: (1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系; (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质

5、的不同; (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假,题型一,题型二,题型三,变式训练1】 给出下列命题:若复数z=x+yi(x,yR)是虚数,则必有x0;形如a+bi(bR)的数一定是虚数;若aR,a0,则(a+3)i是纯虚数;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中正确命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 解析:若复数z=x+yi(x,yR)是虚数,则必有y0,但可以有x=0,故错;形如a+bi(bR)的数不一定是虚数,故错;当aR,a+30时,(a+3)i是纯虚数,故错;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故正确. 答案:A,题型一,题型二,题型三,复数相等的充要条件 【例2】 已知M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,求实数m的值. 分析:MP=PMP(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i列方程组可求得m的值 解:MP=P,MP, (m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,综上可知实数m的值为1或2,题型一,题型二,题型三,反思复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁,题型一,题型二,题型三,变式训练2】 已知x2+y2-4+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值,题型一,题型二,题型三,复数的分类,分析:根据复数的分类标准列出方程(不等式)组解出m结论,题型一,题型二,题型三,反思在利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组),求解参数时,注意考虑问题要全面,题型一,题型二,题型三,1)当a为何值时,z是实数? (2)当a为何值时,z是虚数? (3)是否存在实数a,使得z是纯虚数? (4)是否存在实数a,使得z等于0,题型一,题型二,题型三

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