空间几何体的表面积和体积ppt--讲解课件

1、1.3,简单几何体的 表面积和体积,1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积,1、表面积：几何体表面的面积,2、体积：几何体所占空间的大小。,知识回顾：,1、直棱柱：,2、正棱柱：,3、正棱锥：,4、正棱台：,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高：,斜高：,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图

2、形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;,60,例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积。,例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？,宽,长方形,圆柱的表面积呢？,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形? 展开的图形与原图有什么关系？,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,圆锥的表面积为,扇环,圆台,圆台的侧面展开图是扇环,圆台的表面积呢？,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,例 4 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与底面积的比是_,变式、 圆台的上、下底面半

3、径分别为2和4，高 为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,例6、圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式。,侧,圆台侧面积公式的推导,体积：几何体占有空间部分的大小。,几何体的体积,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积.,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积.,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方.,V正方体= a3,定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和 高 h 的积。,V柱体= sh,一、柱体的体积,二、锥体体积,例1：,如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.,问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？,锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积S，高h）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。,定理如果一个锥体（棱锥、圆

4、锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是，高是， 那么它的体积是：,锥体 ,圆锥 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是，那么它的体积是：,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,例2 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？,例3 如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？,表面积与体积的综合应用 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图,例4 (2010年高考福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_,练习1：(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_,3

5、,练习2(2011年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(),A,球的表面积和体积,球的表面积,球的体积:,2.半圆面以它的 直径所在的直线 为轴旋转所成的 几何体叫做球体。 (球是旋转体 ) 3.注意：球面和球体的区别： 球面仅仅是指球的表面， 而球体不仅包括球的表面， 而且还包括球面所围成的几何空间。,球的旋转定义：,1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。,O,球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面问题,用一个平面去截一个球O，截面是圆面,基本计算问题,1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.,2. (1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的_倍. (2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的_倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为_.,“接”与“切”：,两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另

6、一个几何体的各面相切 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题,中截面,中截面,球内切于正方体的棱,A,B,C,D,D1,C1,A1,对角面,球外接于正方体,例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例2、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r，,例3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,变式 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最

7、大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,补形：,例4.球面上有四个点PABC,如果PAPBPC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.,解:要求球的表面积,只要求出球的半径R.分析题设条件可知把P看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥P-ABC补成一个球内接正方体,其棱长为a.,例5、,注意：两个平行截面在同侧还是异侧，易漏一侧。,练习题：练习册P17：变式训练,例6：练习册P18：变式训练,有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是个正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径为r的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥器中取出后，水面高是多少？,等体积法,例7、,（1）求棱长为a的正四面体的外接球的表面积和体积； （2）求棱长为a的正四面体的内切球的表面积和体积。,（1）求底面边长a，棱长为2a为的正三棱锥的外接球的表面积和体积； （2）求底面边长a，棱长为2a为的正三棱锥的外接球的表面积和体积。,变式：,正四面体的外接球与内切球的球心重合都在高上且其半径之比为3:1,结论1：,正三棱锥的外接球与内切球的球心不

8、一定重合但都在高上且其半径之比不定。,结论2：,求棱长为 的正四面体的外接球和内切球的半径。,练习：,例8、“5+3”P20第11题,四面体ABCD中，AB=CD=4，BC=AC=AD=DB=5，求四面体外接球的表面积。,对称性,4,4,5,5,5,5,E,F,G,题型一 几何体的展开与折叠 例1、有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形ABCD（如图所示）， 由题意知BC=3 cm， AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位 置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 故铁丝的最短长度为5 cm.,题型二 旋转体的表面积及其体积 例2、如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.,多面体的表面积及其体积 例3、 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 ，求这个三棱锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E， 则E为BC的中点，且AHBC. ABC是边长为6的正三角形，,

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