二元一次方程组（全章课件）

1、第八章二元一次方程组 一切问题都可以转化为数学问题 一切数学问题都可以转化为代数问题 而一切代数问题又都可以转化为方程问题 因此 一旦解决了方程问题 一切问题将迎刃而解 法国数学家笛卡儿 鹿邑县第三高级中学韩进礼 8 1二元一次方程组 第一课时 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 每队胜一场得2分 负一场得1分 如果某队为了争取较好名次 想在全部22场比赛中得40分 那么这个队胜负场数应分别是多少 引言 用学过的一元一次方程能解决此问题吗 这可是两个未知数呀 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 每队胜一场得2分 负一场得1分 如果某队为了争取较好名次 想在全部22场比赛中得40分 那么这个队胜负场数应分别是多少 那么 能设两个未知数吗 比如设胜x场 负y场 你能根据题意列出方程吗 用方程表示为 依题意有 两个耶 是我国古代较为普及的算书 许多问题浅显有趣 其中下卷第31题 鸡兔同笼 问题流传尤为广泛 飘洋过海传到了日本等国 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 鸡兔同笼 设鸡有x只 兔y只 根据题意 得 著名的 鸡兔同笼 问题 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问

2、鸡兔各几何 则有 两个方程 1 2个未知数 2 未知数的项的次数是1 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程 两个 1次 观察上面四个方程 有何共同特征 二元一次方程 像这样把两个二元一次方程合在一起 就组成了一个二元一次方程组 把两个方程写在一起 1 2个未知数 2 未知数的项的次数是1 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程 两个 1次 观察上面四个方程 有何共同特征 二元一次方程 1 一次 是指含未知数的项的次数是1 而不是未知数的次数 2 方程的左右两边都是整式 牛刀小试 哪些是二元一次方程 组 为什么 你猜 5 我们该称什么 三元一次方程 012345 18 22 222120191817 4 0 我们再来看引言中的方程 符合问题的实际意义的x y的值有哪些 若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗 一般地 一个二元一次方程有无数个解 如果对未知数的取值附加某些限制条件 则可能有有限个解 课堂练习 1 下面4组数值中 哪些是二元一次方程2x y 10的解 2 找出上述方程的所有正整数解 鸡兔同笼 解 设鸡有x只

3、 兔y只 根据题意 得 著名的 鸡兔同笼 问题 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 两个方程 两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 牛刀小试 哪些是二元一次方程组 为什么 其中 3 也是二元一次方程组 只要两个一次方程合起来共有两个未知数 那么他们就组成一个二元一次方程组 你猜 2 我们该称什么 三元一次方程组 012345 18 22 222120191817 4 0 1 满足方程且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 把它们填入下表中 012345 18 22 403836343230 4 4 2 满足方程且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 把它们填入下表中 不难发现x 18 y 4既是x y 22的解 也是2x y 40的解 也就是说是这两个方程的公共解 我们把它们叫做方程组的解 记作 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 它的解有无数个 二元一次方程组的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组的解 显然二元一次方程组只有一对解 记作 二元一次方程 组 的解 综上所述 1 方程2x 3y 8的解 A 只有一个B 只有两

4、个C 只有三个D 有无数个 练一练 2 下列4组数值中 哪些是二元一次方程的解 4 方程组的解是 3 下列属于二元一次方程组的是 练一练 1 P102练习 2 P102 103 1 5 作业 第八章二元一次方程组 8 1二元一次方程组 备用课件 一切问题都可以转化为数学问题 一切数学问题都可以转化为代数问题 而一切代数问题又都可以转化为方程问题 因此 一旦解决了方程问题 一切问题将迎刃而解 法国数学家笛卡儿 复习旧知 我们都学习了一元一次方程的哪些知识 2 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 在一次比赛中 甲队参加了22场比赛 那么在这次比赛中甲队胜 负场数分别是多少场 1 文具盒中有红 黄两种颜色的彩笔共10支 猜一猜红色 黄色彩笔个多少支 一 问题情境 设红色彩笔有x支 黄色彩笔有y支 则得方程 设甲胜的场数是x 负的场数是y 则得方程 x y 10 x y 22 x y 10 x y 22 注意 1 次数为1 方程 2 两边都是整式 方程 3 方程不含有xy项 方程 不是二元一次方程 不是二元一次方程 不是二元一次方程 1 每个方程都含有两个未知数 2 并且所含未知数的次数都是1

5、3 整式方程 叫做二元一次方程 8 4xy 5 0 1 x y 11 3 x2 y 5 2 m 1 2 4 3X 11 5 5x 4y 2 6 7 a 2b 11c 二元一次方程 不是二元一次方程 1 判断下列方程是不是二元一次方程 2 如果 a 1 x1a1 5y 100是二元一次方程 求a的值 解 方程 a 1 x1a1 5y 100是二元一次方程 1a1 1且a 1 a 一1 变式 1 若mxy 9x 3yn 1 7是关于x y的二元一次方程 则m n 2 若9x2m 1 3y3n 2m 7是关于x y的二元一次方程 则m n 甲队胜一场得2分 负一场得1分 比赛结束后甲队一共得到40分 用方程怎样表示呢 思考 这两个方程中的x y的含义相同吗 篮球联赛中 每场比赛都要分出胜负 在一次比赛中 甲队参加了22场比赛 那么在这次比赛中甲队胜 负场数分别是多少场 设甲胜的场数是x 负的场数是y 则得方程 x y 22 2x y 40 我们把这两个方程合在一起 就组成一个方程组 写成 像这样 把具有相同未知数的两个 或两个以上 二元一次方程合在起 就组成了一个二元一次方程组 注意 方程组

6、中的各个方程 同一字母必须代表同一数量 注意 1 在方程组中 一共含有两个未知数 2 方程组中的方程可以是一元一次方程 比如 是二元一次方程组 不是二元一次方程组 下列方程组是二元一次方程组的有 A E 试一试你能行 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元一次方程的解 怎样判断x 4是否为一元一次方程3x 4 8的解 回忆 探究 满足方程x y 22 且符合问题的实际意义的x y的值有哪些 请你把它们填入下表 二元一次方程的解 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 5 6 4 3 2 1 0 一般地 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 注意 1 二元一次方程的解有无数组 除此之外 如果不考虑实际意义 x 1 y 23 x 0 5 y 21 5 也都是方程的解 2 二元一次方程的每一个解是一对数值 记为 二元一次方程组的解 一般地 二元一次方程组中的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组的解 探究二元一次方程组的解 在上两表中 有一对值既满足x y 22也满足2x y 40 你能把它找出来吗 满足方

7、程x y 22的解 满足方程2x y 40的解 我们发现是这两个方程的公共解 注意 1 二元一次方程组的解有且只有一组 把叫做二元一次方程组的解 2 二元一次方程组的每一个解是一对数值 记为 思考 1 判断是二元一次方程2x y 10的解 2 判断是二元一次方程组的解 是 不是 带入检验法 例1 连一连 把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来 x 1y 2 x 3y 2 x 2y 1 y 3 x3x 2y 8 y 2xx y 3 y 1 x3x 2y 5 例2 已知是二元一次方程2x 4y 2a 2的一个解 求4a 3的值 x 1y 3 2 1 4 3 2a 2 解得 a 6 所以4a 3 4 6 3 27 例3 x 1y 3 2x ay 7bx 3y 4 已知 是方程组 的解 求4a b的值 所以 4a b 4 3 13 1 练习 已知是方程4x my 10和mx ny 11的公共解 求m2 2n的值 x 3y 1 小结 含有两个未知数 x和y 并且未知数的次数都是1的整式方程 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 有且只有1个 无穷多个 代入使方程成立 代入使方程组成立

8、二元一次方程组中的两个方程的公共解 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在起组成的方程组 1 1 若方程2x2m 3 3y3n 7 4是关于x y的二元一次方程 则m n 练习 2 已知是方程2x 4y 2a 2一个解 则a x 1y 3 8 8 2消元 用代入法解二元一次方程组 第1课时 学校准备建设一个周长为60米的长方形游泳池 要求游泳池的长是宽的2倍 为了帮建筑工人计算出长和宽各是多少米 请你列出相应的方程组 解 设游泳池的宽为x米 长为y米 则 2x 2y 60 y 2x 问题情境 想一想如何求解 2x 4x 60 上面的解方程组的基本思路是什么 基本步骤有哪些 上面解方程组的基本思路是把 二元 转化为 一元 消元 主要步骤是 将含一个未知数表示另一个未知数的代数式 代入另一个方程中 从而消去一个未知数 化二元一次方程组为一元一次方程 这种解方程组的方法称为代入消元法 简称代入法 归纳 将未知数的个数由多化少 逐一解决的想法 叫做消元思想 解 把 代入 得 2y 3 y 1 1 2y 3y 3 1 2y 3y 1 3 y 2 y 2 把y 2代入 得 x y 1 2 1 1

9、2y 3x 1 x y 1 y 1 谈谈思路 谈谈思路 解 把 代入 得 2y 3 y 1 1 2y 3y 3 1 2y 3y 1 3 y 2 y 2 把y 2代入 得 x y 1 2 1 1 例2解方程组 解 由 得 x 3 y 把 代入 得 3 3 y 8y 14 把y 1代入 得 x 2 1 将方程组里的一个方程变形 用含有一个未知数的式子表示另一个未知数 2 用这个式子代替另一个方程中相应的未知数 得到一个一元一次方程 求得一个未知数的值 3 把这个未知数的值代入上面的式子 求得另一个未知数的值 4 写出方程组的解 变 代 求 写 9 3y 8y 14 5y 5 y 1 说说方法 解二元一次方程组 1 2 3 4 2 用代入法解二元一次方程组 1 2 1 二元一次方程组 这节课我们学习了什么知识 代入消元法 一元一次方程 2 代入消元法的一般步骤 3 思想方法 转化思想 消元思想 方程 组 思想 变 代 求 写 1 转化 基础 目标 41页1 6题 42页9 11题 提高 目标 41页7题 42页12题 3 已知是二元一次方程组的解 则a b 4 已知 a 2b 5 2 4a

10、b 6 0 求a和b的值 3 1 5 已知钢笔每只5元 圆珠笔每只2元 小明用16元钱买了这两种笔共5支 试求小明买钢笔和圆珠笔各多少支 解 设小明买钢笔x支 买圆珠笔y支 根据题意列出方程组得 x y 55x 2y 16 解得 x 2y 3 答 小明买钢笔2支 买圆珠笔3支 6 如图所示 将长方形 的一个角折叠 折痕为 BAD比 BAE大48 设 BAE和 BAD的度数分别为x y度 那么x y所适合的一个方程组是 A B C D C 探索与实践 小组竞赛 设甲数为x 乙数为y 根据下列语句 列二元一次方程 1 甲数的3倍比乙数大5 2 甲数比乙数的2倍少2 3 甲数的2倍与乙数的3倍的和是20 4 甲乙两数之差为2 3x y 5 x 2y 2 2x 3y 20 x y 2 探索与实践 1 甲数的3倍比乙数大5 2 甲数比乙数的2倍少2 3 甲数的2倍与乙数的3倍的和是20 4 甲乙两数之差为2 x y 2 2x 3y 20 x 2y 2 3x y 5 小组竞赛 8 2 2解二元一次方程组 加减法 2 用代入法解方程的关键是什么 1 根据等式性质填空 思考 若a b c d 那么a

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