河北省2020届高三下学期第四次质量检测数学（理）试题 Word版含解析

1、河北正定中学2020届高三下学期第四次质量检测数 学(理科)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|()A. 2B. 3C. 2D. 3【答案】A【解析】由题图可知，z12i，z2i，则z1z22，|z1z2|2，故选A.2.已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】法一：根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出m的范围即可法二：结合选项利用排除法求解.【详解】法一：，时，m+12m1，解得m2；时，解得2m3，实数m的取值范围是（，3故选：C法二：因为，所以，当时，符合题意，排除选项A,B,D，故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，并集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题本题也可利用排除法.3.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，只需否定量词和结论即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的

2、否定是：“，”，故选C.【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.4.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为A. 2.2升B. 2.3升C. 2.4升D. 2.5升【答案】D【解析】【分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积【详解】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a11.6，d0.1，中间两节的容积为：a4+a5（1.60.13）+（1.60.14）2.5（升）故选D【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线(曲线为正态分布的密度

3、曲线)与直线，及围成的封闭区域内点的个数的估计值为（ ）(附：若，则，A. 2718B. 1359C. 430D. 215【答案】B【解析】【分析】利用正态分布先求解，再结合几何概型可得封闭区域内点的个数.【详解】因为，所以封闭区域内点的个数的估计值为.故选：B.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的性质，结合正态曲线求解给定区间内的概率是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.6.若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，可知 ，判断函数的定义域和单调性即可得解【详解】由函数在上为减函数，可知 函数的定义域为或，故排除A，B又，可知在单调递减，故排除D故选：C【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档题.7.已知，则是（ ）A. 偶函数，且在是增函数B. 奇函数，且在是增函数C. 偶函数，且在是减函数D. 奇函数，且在是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】

4、由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .8.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角

5、线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.9.在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.10.已知曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆，曲线是以为顶点为焦点的抛物线，是曲线与的交点，且为钝角，若，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】设出抛物线方程及点，结合抛物线定

6、义及可求抛物线方程，进而可得.【详解】不妨设位于轴负半轴, 位于轴正半轴， 位于第一象限，如图所示.设抛物线的方程为.作抛物线的准线,则过,过作垂直于准线于点,由抛物线的定义可得，所以.因为点在抛物线上，所以.由得或又为钝角，所以，所以，即.故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的性质，联立方程，弦长的转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.设函数.若,且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据f（x1）+f（x2）0，可得f（x1）f（x2），结合函数f（x）sin（2x），可得|x2x1|至少相差半个周期，可得|x2x1|【详解】解：根据函数f（x）sin（2x）f（x1）+f（x2）0，可得f（x1）f（x2），令x2x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2x1|最小，x1x20，x20，则x1可得|x2x1|，故选：B【点睛】本题考查正弦函数图像与性质，考查基本分析应用能力.12.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数在上的单调性，当

7、时，在上为增函数，且，即可判断其没有零点，不符合条件；当时，在上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当趋于时，趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定的范围.【详解】因为函数，所以令，因为，当 时，所以所以在上为增函数，则，当时，所以，所以在上为增函数，则，所以上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，当时，；所以当时，为减函数，当时，为增函数，当时，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二填空题(每小题5分，满分20分)13.已知，向量与的夹角为，且，则_.【答案】【解析】【分析】先用向量表示出，结合向量夹角及模长可求.【详解】因为，所以，；因为，向量与的夹角为，所以.所

8、以.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量模长的求解，见模长就平方是这类问题的求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.14.已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中为虚数单位，则展开式中常数项为_【答案】45【解析】【详解】的展开式通项公式为：第五项的系数为，第七项的系数为，由第五项与第七项的系数之和为0，可得，解得令=0，解得r=8，故所求的常数项为15.下列说法：分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大；以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；若变量和满足关系，且变量与正相关，则与也正相关.正确的个数是_.【答案】3【解析】【分析】结合所给说法逐个进行分析求解，然后可得正确的个数.【详解】对于：由独立性检验的性质可知分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大，所以正确；对于：因为，所以两边取对数可得，令，则，因为，所以，所以，即正确；对于：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，说明估计值与真实值误差较小，其模型拟合的精度越高，所以正确；对于：因为变量和满足关系，所以是负相关，因为变量与正相关，所以与是负相关，即不正确.故答案为：3.【点睛】本题主要考查统计的相关知识，题目较为简单，明确每一个说法的正误是求解的关键，侧重考查统计知识的理解辨析.16.将正奇数按如图所示的规律排列：则2021在第_行，从左向右第_个数.【答案】 (1). 32 (2). 50【解析】【分析】根据题目排列规律可得第行共有个奇数，结合项数和可求2021在哪一行，并能求出是第几个数.【详解】由题意可得第行共有个奇数，所以前行共有个奇数，而是第个奇数，所以在第32行，从左向右第个数.故答案：32；50.【点睛】本题主要考查逻辑推理，明确数据的排列规律是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考

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