高中数学直接证明与间接证明课件新人教.ppt

1、 12 5直接证明与间接证明要点梳理1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 这种证明方法叫综合法 框图表示 其中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示要证的结论 推理论证 成立 基础知识自主学习 2 分析法 定义 从出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 2 间接证明反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 要证明的结论 充分条件 得到一个明显成立的条件 不成立 矛盾 基础自测1 分析法是从要证的结论出发 寻求使它成立的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解析由分析法的特点可知 A 2 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c都是奇数B a b c都是偶数C a b c中至少有两个偶数D a b c中至少有两个偶数或都是奇数解析 a b c恰有一个偶数 即a b c中只有一

2、个偶数 其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 故只有D正确 D 3 若a b 0 则下列不等式中成立的是 A B C D 解析 C 4 实数a b c满足a b c 0 abc 0 则的值 A 一定是正数B 一定是负数C 可能是0D 正 负不能确定解析 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 0且a2 b2 c2 0 由abc 0知a b c均不为零 ab bc ac 0 B 5 用分析法证明 欲使 A B 只需 C D 这里 是 的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要条件 B 题型一综合法设a b c 0 证明 本题因为有三项分式 不主张用分析法 综合法证明不等式 要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用 这里可从去分母的角度去运用基本不等式 证明 a b c 0 根据基本不等式 题型分类深度剖析 综合法往往以分析法为基础 是分析法的逆过程 但更要注意从有关不等式的定理 结论或题设条件出发 根据不等式的性质推导证明 知能迁移1已知x y z 1 求证 证明

3、 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 3 x2 y2 z2 x y z 2 1 题型二分析法 12分 已知函数f x tanx 本题若使用综合法进行推演 三角函数式的化简较难处理 因此 可考虑分析法 证明 2分 cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 6分故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1 cosx2 8分即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证 cos x1 x2 1 10分 4分 12分 x x 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法 就证明程序来讲 它是一种从未知到已知 从结论到题设 的逻辑推理方法 具体地说 即先假设所要证明的结论是正确的 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 知能迁移2已知a 0 求证 证明 题型三反证法若x y都是正实数 且x y 2 求证

4、 中至少有一个成立 本题结论以 至少 形式出现 从正面思考有多种形式 不易入手 故可用反证法加以证明 证明 因为x 0且y 0 所以1 x 2y 且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2相矛盾 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 惟一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 2 利用反证法证明问题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理 否则 将出现循环论证的错误 知能迁移3已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 不能同时大于 包含多种情形 不易直接证明 可用反证法证明 证明方法一假设三式同时大于 a b c 0 1 三式同向相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 方法二假设三式同时大于 00 题型四分析法与综合法的综合应用若a b c是不全相等的正数 求证 用分析法得到再用综合法证明 证明方法一

5、 又 a b c是不全相等的正数 式等号不成立 原不等式成立 方法二 a b c R 又 a b c是不全相等的正数 分析法和综合法是对立统一的两种方法 分析法的证明过程 恰好是综合法的分析 思考过程 综合法是分析法的逆过程 知能迁移4设a b均为正数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明方法一 分析法 要证a3 b3 a2b ab2成立 只需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 又因为a b 0 只需证a2 ab b2 ab成立 又需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而依题设a b 则 a b 2 0显然成立 由此命题得证 方法二 综合法 a b a b 0 a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab 而a b均为正数 a b 0 由 式即得 a b a2 ab b2 ab a b a3 b3 a2b ab2 思想方法感悟提高方法与技巧1 分析法的特点是 从未知看需知 逐步靠拢已知 2 综合法的特点是 从已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是

6、思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 4 应用反证法证明数学命题 一般分下面几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定q 第三步 由p和q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所作的假定q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 第三步所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理矛盾 与已知定义矛盾 与已知定理矛盾 与已知条件矛盾 与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况 失误与防范1 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设命题进行推理 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论P 再说明所要证明的数学问题成立 一 选择题1 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 在抛物线上 且2x2 x1

7、 x3 则有 A FP1 FP2 FP3 B FP1 2 FP2 2 FP3 2C 2 FP2 FP1 FP3 D FP2 2 FP1 FP3 解析如图所示 y2 2px的准线为P1A l P2B l P3C l 定时检测 由抛物线定义知 P1F P1A P2F P2B P3F P3C 2 FP2 又 2x2 x1 x3 2 FP2 FP1 FP3 答案C 2 用反证法证明 如果a b 那么 假设内容应是 A B C D 解析 D 3 a b c为互不相等的正数 且a2 c2 2bc 则下列关系中可能成立的是 A a b cB b c aC b a cD a c b解析由a2 c2 2ac 2bc 2ac b a 可排除A D 令a 2 可得c 1或4 可知C可能成立 C 4 设x y z R 则a b c三数 A 至少有一个不大于2B 都小于2C 至少有一个不小于2D 都大于2解析假设a b c都小于2 则a b c 6 而事实上 a b c a b c中至少有一个不小于2 C 5 已知a b是非零实数 且a b 则下列不等式中成立的是 A B a2 b2C a b a b D 解析

8、 a b a b 0 而a可能大于0 也可能小于0 因此a a b 0不一定成立 即A不一定成立 a2 b2 a b a b 0 a b 0 只有当a b 0时 a2 b2成立 故B不一定成立 a b a b a b 2 a b 2 ab 0 而abb 上式一定成立 因此只有D正确 答案D 6 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 A 2 3 B 1 2 3 C 3 D 3 4 5 解析但a 1 b 1 故 1 推不出 若a b 1 则a b 2 故 2 推不出 若a 2 b 3 则a2 b2 2 故 4 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 5 推不出 对于 3 即a b 2 则a b中至少有一个大于1 反证法 假设a 1且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 故a b中至少有一个大于1 答案C 二 填空题7 某同学准备用反证法证明如下一个问题 函数f x 在 0 1 上有意义 且f 0 f 1 如果对于不同的x1 x2 0 1 都有 f

9、x1 f x2 x1 x2 求证 f x1 f x2 那么它的反设应该是 x1 x2 0 1 使得 f x1 f x2 x1 x2 且 f x1 f x2 8 凸函数的性质定理为 如果函数f x 在区间D上是凸函数 则对于区间D内的任意x1 x2 xn 有已知函数y sinx在区间 0 上是凸函数 则在 ABC中 sinA sinB sinC的最大值为 解析 f x sinx在区间 0 上是凸函数 且A B C 0 答案 9 设x y z是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若x z 且y z 则x y 为真命题的是 填写所有正确条件的代号 x为直线 y z为平面 x y z为平面 x y为直线 z为平面 x y为平面 z为直线 x y z为直线 解析 中x 平面z 平面y 平面z x 平面y或x 平面y 又 x 平面y 故x y成立 中若x y z均为平面 则x可与y相交 故 不成立 x z y z x y为不同直线 故x y成立 z x z y z为直线 x y为平面可得x y 成立 x y z均为直线可异面垂直 故 不成立 答案 三 解答题10 1 设x

10、是正实数 求证 x 1 x2 1 x3 1 8x3 2 若x R 不等式 x 1 x2 1 x3 1 8x3是否仍然成立 如果成立 请给出证明 如果不成立 请举出一个使它不成立的x的值 1 证明x是正实数 由均值不等式知x 1 2 x2 1 2x x3 1 2 故 x 1 x2 1 x3 1 2 2x 2 8x3 当且仅当x 1时等号成立 2 解若x R 不等式 x 1 x2 1 x3 1 8x3仍然成立 由 1 知 当x 0时 不等式成立 当x 0时 8x3 0 而 x 1 x2 1 x3 1 x 1 2 x2 1 x2 x 1 此时不等式仍然成立 11 已知等比数列 an 的前n项和为Sn 若am am 2 am 1 m N 成等差数列 试判断Sm Sm 2 Sm 1是否成等差数列 并证明你的结论 解设等比数列 an 的首项为a1 公比为q a1 0 q 0 若am am 2 am 1成等差数列 则2am 2 am am 1 2a1qm 1 a1qm 1 a1qm a1 0 q 0 2q2 q 1 0 解得q 1或 当q 1时 Sm ma1 Sm 1 m 1 a1 Sm 2 m 2

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