高中数学苏教版必修5学案:3.4.2 基本不等式的应用
8页1、3.4.2基本不等式的应用学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识点一基本不等式求最值1.理论依据:(1)设x,y为正实数,若xys(和s为定值),则当xy时,积xy有最大值,且这个值为.(2)设x,y为正实数,若xyp(积p为定值),则当xy时,和xy有最小值,且这个值为2.2.基本不等式求最值的条件:(1)x,y必须是正数;(2)求积xy的最大值时,应看和xy是否为定值;求和xy的最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题:(1)各数(或式)均为正.(2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立,“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.(4)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性.知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步:(1)阅读并理解材料;(2)建立数学模型;(3)讨论不等关系;
2、(4)作出结论.题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知t0,则函数y的最小值为_.(2)已知x,y均为正实数,且满足1,则xy的最大值为_.(3)已知x,则f(x)的最小值为_.答案(1)2(2)3(3)1解析(1)yt4242,当且仅当t,即t1或t1(舍)时,等号成立,y的最小值为2.(2)xy121221223,当且仅当,即x,y2时,等号成立,xy的最大值为3.(3)f(x)1.当且仅当x2,即x3时,等号成立.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.跟踪训练1(1)设ab0,则a2的最小值是_.(2)已知x,y为正数,且2xy1,则的最小值为_.答案(1)4(2)32解析(1)a2a2ababa(ab)ab224.当且仅当a(ab)1且ab1,即a,b时取“”.(2)由2xy1,得33232,当且仅当,即x,y1时,等号成立.题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x1,y1,且lnx、lny成等比数列,则xy
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