高中数学苏教版必修5学案：3.4.2　基本不等式的应用

3.4.2基本不等式的应用学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识点一基本不等式求最值1.理论依据：(1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当xy时，积xy有最大值，且这个值为.(2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当xy时，和xy有最小值，且这个值为2.2.基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正.(2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论.题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知t0，则函数y的最小值为_.(2)已知x，y均为正实数，且满足1，则xy的最大值为_.(3)已知x，则f(x)的最小值为_.答案(1)2(2)3(3)1解析(1)yt4242，当且仅当t，即t1或t1(舍)时，等号成立，y的最小值为2.(2)xy121221223，当且仅当，即x，y2时，等号成立，xy的最大值为3.(3)f(x)1.当且仅当x2，即x3时，等号成立.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.跟踪训练1(1)设ab0，则a2的最小值是_.(2)已知x，y为正数，且2xy1，则的最小值为_.答案(1)4(2)32解析(1)a2a2ababa(ab)ab224.当且仅当a(ab)1且ab1，即a，b时取“”.(2)由2xy1，得33232，当且仅当，即x，y1时，等号成立.题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x1，y1，且lnx、lny成等比数列，则xy有最_(填“大”或“小”)值为_.答案小e解析由题意得2lnxlny，lnxlny，x1，y1，lnxlny0，又ln(xy)lnxlny21，xye.即xy有最小值为e.(2)若对任意x0，a恒成立，求a的取值范围.解设f(x)，x0，x2，f(x)，即f(x)max，a.反思与感悟最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f(x)a恒成立af(x)min.(2)f(x)a恒成立af(x)max.跟踪训练2(1)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_.(2)函数ykx2k1的图象恒过定点A，若点A又在直线mxny10上，则mn的最大值为_.答案(1)4(2)解析(1)由题意得，3a3b()2，即ab1，(ab)2224，当且仅当，即ab时，等号成立.(2)yk(x2)1必经过(2，1)，即点A(2，1)，代入得2mn10，2mn1，mn(2mn)2，当且仅当2mn时，等号成立.题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.解设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab9000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0.广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a5001850025a40b18500218500224500.当且仅当25a40b时，等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75，即当a120，b75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时.答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100时，等号成立，此时t8小时.1.下列函数中，最小值为4的函数是_.yx；ysinx(0x)；yex4ex；ylog3xlogx81.答案解析中x1时，y54，中y4时，sinx2，中x与1的关系不确定，选.2.函数y(x1)在xt处取得最小值，则t_.答案2解析yxx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是_.6.5m；6.8m；7m；7.2m.答案解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m).故既够用，浪费也最少.4.函数f(x)x(42x)的最大值为_.答案2解析当x(0,2)时，x,42x0，f(x)x(42x)22，当且仅当2x42x，即x1时，等号成立.当x0或x2时，f(x)0，故f(x)max2.5.x时，函数y4x2的最大值为_.答案1解析x，4x50，y4x533231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p>0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.