广东省廉江市实验学校2018高三(人教A)数学(理)一轮复习课件:数学归纳法总复习 .ppt
49页1、 数学归纳法要点梳理1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法 根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法 一般结论 完全 不完 全 基础知识自主学习 2 数学归纳法 1 数学归纳法 设 Pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 证明起始命题P1 或P0 成立 在假设Pk成立的前提下 推出Pk 1也成立 那么可以断定 Pn 对一切正整数成立 2 数学归纳法证题的步骤 归纳奠基 证明当n取第一个值时 命题成立 归纳递推 假设 k n0 k N 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n n0 n k n k 1 基础自测1 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得的项为 A 1B 1 aC 1 a a2D 1 a a2 a3 C 2 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时 第一步检验第一个值n0等于 A 1B 2C 3D 0解析边数最少的凸n边形是三角形 C 3 如果命题p n 对n k成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2成立 则下列结论正确
2、的是 A p n 对所有正整数n都成立B p n 对所有正偶数n都成立C p n 对所有正奇数n都成立D p n 对所有自然数n都成立解析归纳奠基是 n 2成立 归纳递推是 n k成立 则对n k 2成立 p n 对所有正偶数n都成立 B 4 某个命题与自然数n有关 若n k k N 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 A n 6时该命题不成立B n 6时该命题成立C n 4时该命题不成立D n 4时该命题成立解析方法一由n k k N 成立 可推得当n k 1时该命题也成立 因而若n 4成立 必有n 5成立 现知n 5不成立 所以n 4一定不成立 方法二其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 C 5 用数学归纳法证明1 2 3 n2 则当n k 1时左端应在n k的基础上加上 A k2 1B k 1 2C D k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2解析 当n k时 左边 1 2 3 k2 当n k 1时 左边 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 当n k
3、1时 左端应在n k的基础上加上 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 C 题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明 对任意的n N 用数学归纳法证明的步骤为 归纳奠基 验证当n 1时结论成立 归纳递推 假设当n k k N 时成立 推出当n k 1时结论也成立 题型分类深度剖析 证明所以等式成立 2 假设当n k k N 时等式成立 即有 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n N 等式都成立 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时等式的两边变化的项 然后正确写出归纳证明的步骤 使问题得以证明 知能迁移1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 等式左边等式右边所以等式成立 2 假设n k k N 时等式成立 那么当n k 1时 即n k 1时等式成立 由 1 2 可知 对任意n N 等式均成立 题型二用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1 n N 能被a2 a 1整除 解 1 当n 1时 a2 a 1 a2 a 1
4、可被a2 a 1整除 2 假设n k k N 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 验证n 1时命题是否成立 假设n k时命题成立 推证n k 1时命题成立 得结论 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由假设可知a ak 1 a 1 2k 1 能被a2 a 1整除 a2 a 1 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 ak 2 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 即n k 1时命题也成立 对任意n N 原命题成立 证明整除问题的关键是 凑项 而采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 知能迁移2求证 3n 1 7n 1 n N 能被9整除 证明 1 当n 1时 3n 1 7n 1 27能被9整除 2 假设n k k N 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 那么n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 3 1 6 7k 1
5、 3k 1 7k 1 3k 1 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 3k 6 7k 6 21 7k 以上三项均能被9整除 则由 1 2 可知 命题对任意n N 都成立 题型三用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明 对一切大于1的自然数 不等式均成立 应注意到题目条件 第一步应验证n 2时不等式成立 证明 1 当n 2时 左边 左边 右边 不等式成立 2 假设n k k 2 且k N 时不等式成立 则当n k 1时 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 对于一切大于1的自然数n 不等式都成立 在由n k到n k 1的推证过程中 应用放缩技巧 使问题得以简化 用数学归纳法证明不等式问题时 从n k到n k 1的推证过程中 证明不等式的常用方法有比较法 分析法 综合法 放缩法等 知能迁移3已知函数f x x sinx 数列 an 满足 00 所以f x 在 0 1 上是增函数 又f x 在 0 1 上连续 从而f 0 f ak f 1 即0 ak 1 1 sin1 1 故当n k 1时 结论成立 由 可知 0 an 1对一切正整数都成立 又因为0 an 1时 an 1 an a
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