《.三角函数的图象与性质》教学导案

1、.三角函数的图象与性质-教案 作者： 日期：2 个人收集整理，勿做商业用途三角函数的图象与性质适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点正弦、余弦及正切函数的定义域、值域正弦、余弦及正切函数的周期性；正弦、余弦及正切函数的单调性正弦、余弦及正切函数的奇偶性；正弦、余弦及正切函数的对称性教学目标1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.教学重点1三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是重点2三角函数图像的对称性也是一个重点教学难点灵活应用教学过程一、课堂导入当我们检查心脏做心电图时，医生会用仪器打印出一条曲线图，根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题在一摇摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸，沙子落在纸上形成一条曲线，这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的形象这样我们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图象，从图象上能直观形象地得出正弦函数、余弦函数的一些重要性质，如最大值、最小值、单调区间、对称性等，同时研究函数图

2、象的过程也为培养学生化归的数学思想有促进作用二、复习预习1. 同角三角函数的基本关系2. 诱导公式的口诀及具体含义三、知识讲解考点1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、定义域及值域函数ysin xycos xytan x图象定义域RR kZ值域1,11,1R考点2 正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性及最值函数ysin xycos xytan x单调性递增区间：(kZ)递减区间：(kZ)递增区间：2k，2k (kZ)递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1 x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1 x2k(kZ) 时，ymin1无最值考点3 正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性及周期性函数ysin xycos xytan x奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心(kZ)对称轴l xk，kZ对称轴l xk，kZ无对称轴周期22四、例题精析【例题1】【题干】(1)求函数y的定义域；(2)设aR，f(x)cos x(asin xcos x)cos2满足ff(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值

3、【解析】(1)要使函数有意义则即利用数轴可得：所以函数的定义域是.(2)f(x)cos x(asin xcos x)cos2asin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x.由于ff(0)，所以sincos1，即a1，得a2.于是f(x)sin 2xcos 2x2sin.由于x，所以2x，因此当2x即x时f(x)取得最大值f2，当2x即x时f(x)取得最小值f.【例题2】【题干】若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A3B2C. D.【解析】选Cysin x(0)过原点，当0x，即0x时ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由ysin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，故.【例题3】【题干】(1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.【答案】(1)(2)k，kZ【解析】(1)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)又|，所以k0，故.(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k，(kZ)【例题4】【题干】(2012

4、上海高考)若Snsinsinsin(nN*)，则在S1，S2，S100中，正数的个数是()A16B72C86 D100【答案】C【解析】函数f(x)sin的最小正周期为T14，又sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，sin0，在S1，S2，S3，S13，S14中，只有S13S140，其余均大于0.由周期性可知，在S1，S2，S100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数四、课堂运用【基础】1函数f(x)sin x在区间a，b上是增函数，且f(a)1，f(b)1，则cos()A0B.C1 D1解析：选D不妨设a，b，则coscos 01.2(2013郑州模拟)设函数f(x)cos(x)sin(x)，且其图象相邻的两条对称轴为x0，x，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在上为减函数Cyf(x)的最小正周期为，且在(0，)上为增函数Dyf(x)的最小正周期为，且在(0，)上为减函数解析：选B由已知可得f(x)2cos，得T，2.又x0是对称轴，故cos1，由|得，此时f(x)2cos 2x在上为减函数3(2013衡阳联

5、考)给定性质：最小正周期为；图象关于直线x对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是()Aysin BysinCysin Dysin|x|解析：选B注意到函数ysin的最小正周期T，当x时，ysin1，因此该函数同时具有性质.【巩固】4函数y的定义域为_解析：由已知得即kZ.故所求函数定义域为.答案：5已知函数f(x)cos(0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为，则函数在0,2上的零点个数为_解析：由已知f(x)cos的周期为，2，f(x)cos.当f(x)0时，2xk(kZ)，x，则当x0,2时f(x)有4个零点答案：4【拔高】6写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.解：(1)ysin，它的增区间是ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为，kZ；增区间为，kZ.最小正周期T.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T.7求下列函数的值域：(1)y；(2)ysin2x4sin x5.解：(1)由y，

6、得cos x.因为1cos x1，所以11，解得y6.因此，原函数的值域为.(2)ysin2x4sin x5(sinx2)21.因为1sin x1，所以2y10.因此，原函数的值域为2,108(2012湖北高考)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函数f(x)在上的取值范围为1，2 课程小结1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)ysin；(2)ysin.2周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(xT)f(x)，其中T是不为零的常数如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(xT)f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期36 / 36

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