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《线性代数》二向量空间

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卖家[上传人]：乐***

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常见问题

1、第二节向量组的线性相关性,向量组的线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理,一、向量组的线性表示,定义8,由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。,设,是n维向量组，,是一组实数，,的线性组合。,例如向量,就是这3个向量的一个线性组合。,存在一组实数,则称向量b是向量组,使得,也称向量b可由向量组,线性表示。,都是 n 维向量,如果对向量b,的线性组合，,例如对向量,有,及,还有,而且表示的方法不惟一,如果对给定向量组A：,存在不全为零的实数,定义9,否则称之为线性无关。,二、向量组的线性相关与线性无关,使得,则称向量组,线性相关；,线性无关。,即当且仅当,注意,（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量共线。三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,（3）任何含有零向量的向量组都线性相关。,(1) 只包含一个向量的向量组线性相关，当且仅当这个向量为零向量. 反过来，由一个非零向量构成的向量组必线性无关。,由于,即,例试判断下列向量组的线性相关性,解若存在数,使,即,因为

2、其系数行列式 D=,于是方程组只有零解，,线性无关。,所以,例试判断下列向量组的线性相关性,解考察,按分量写出来，即为,（其中a，b，c，d各不相同）,该方程组的系数行列式,由于a，b，c，d各不相同，所以行列式不等于零,即方程组只有零解，从而,线性无关。,解若存在数,即,例试判断下列向量组的线性相关性,因为其系数行列式 D=,于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立,线性相关。,所以,令,显然,是它的一个解，计算可知,因此,线性相关。,由（a）代入（b）（c）整理得,另解,证明设有,线性无关。,例试证n维单位坐标向量组,即,解之得,所以,线性无关。,三、向量组线性相关的判定定理,条件是,定理 n个n维向量,线性相关的充要,其中,定理 n维向量组,线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由,其余向量线性表示。,证明必要性若,即存在不全为零的数,使得,线性相关，,不妨设,于是,即,可由其余的向量,线性表示,充分性若有一个向量,可由其余的向量线性表示,即,那么由系数,不全为零，,知向量组,线性相关。,定理若 n 维向量组A：,线性相关，,则向量组B：,线性相关

3、。,反言之若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关,证明由向量组A：,线性相关，知,存在不全为零的实数,使得,于是,而,不全为零,故向量组B线性相关。,反之，假若向量组 A 线性相关，则由上述证明知,向量组 B 线性相关，这与已知矛盾。,于是向量组 A 线性无关。,本定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组也线性相关。,（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。,定理设n维向量组,线性无关，而,线性相关，则,可由,线性表出，且表示法唯一。,证明由,零的数,线性相关知，存在不全为,使得,若,则,不全为零，而有,这与,线性无关相矛盾，,从而,于是,即,可由,线性表示。,假若,可有两种不同的表示方法，设,两式相减，得,唯一性,线性无关相矛盾，,不全为零，则与,如果系数,从而,必全为零,线性表示的方法是唯一的。,定理设有两向量组,则有（1）若向量组,线性无关。,也线性无关,则向量组,也线性相关。,（2）若向量组,线性相关，,则向量组,证明（1）反证假设,则存在不全为零的数,使得,即,线性相关，,由其前 r 个等式得：,即,这表明 r 维向量组,所以r+1

4、维向量组,线性无关。,线性相关，矛盾，,(2) 反证假设 r 维向量组,由（1）推得 r+1 维向量组,线性无关；,线性无关，,与题设矛盾。所以向量组,线性相关。,证毕,此结论对 m 个 r 维向量组添加 m-r 维分量的情形也成立。,定理,中任意n+1个向量,必定线性相关,证明,方法二,证明若,线性相关，则,线性相关，,线性无关，则由于方程组,的系数行列式不为零，,所以方程组有唯一解，即,可由,线性表示，从而知,线性相关,推论 m个n维向量（mn）必线性相关。,例设向量组,线性无关，而,线性相关，,试证（1）,可由,不可由,线性表示，,线性表示，,（2）,证明（1）,因为,线性无关，,由定理知，其部分组,也线性无关，,又因为,线性相关，,所以由定理知：,也即,因此,可由,线性表示。,可由,线性表示，即,证（2）用反证法假设,可由,线性表示，即,而由（1）的证明知,将之代入上式得：,此式说明：,可由,线性表示，,从而可推出,线性相关，与题设矛盾。,不可由,线性表示。,故,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；,2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,小结,若存在一组数,使得,则向量组,A 线性相关 B 线性无关 C 部分线性相关,D 可能线性相关也可能线性无关,1.,2. 向量组,线性无关的充要条件是,A,都是零向量,B,中任意两个向量的分量不成比例,C,中有一部分组线性无关,D,中任意向量均不可由其余向量,线性表示,3. 设有向量组,则下列哪种说法正确?,A 该向量组线性相关，则,必可由,线性表示。,B 该向量组线性无关，则其中任何 m-1 个向量必,线性无关。,C 若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向,量组必线性无关。,D 若,全为零，使,则该向量组必线性无关。,

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