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【通用版】2018届中考数学专题提升（12）与圆的切线有关的计算与证明（含答案）

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常见问题

1、专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 Z121，O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点，若P30，O 的半径为 1，则 PB 的长为_1_图 Z121 经典母题答图【解析】如答图，连结 OC.PC 为O 的切线，PCO90，在 RtOCP 中，OC1，P30，OP2OC2，PBOPOB211.【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017天津已知 AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，ABT50，BT 交O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交O 于点 D.(1)如图 Z122，求T 和CDB 的大小；(2)如图，当 BEBC 时，求CDO 的大小图 Z122解：(1)如答图，连结 AC，AT 是O 的切线，AB 是O 的直径，ATAB，即TAB90，ABT50，T90ABT40，由 AB 是O 的直径，得ACB90，CAB90ABC40，CDBCAB40；中考变形答图中考变形答图(2)如答图，连

2、结 AD，在BCE 中，BEBC，EBC50，BCEBEC65，BADBCD65，OAOD，ODAOAD65，ADCABC50，CDOODAADC655015.【中考预测】2017宿迁如图 Z123，AB 与O 相切于点 B，BC 为O 的弦，OCOA，OA 与 BC 相交于点 P.(1)求证：APAB；(2)若 OB4，AB3，求线段 BP 的长图 Z123 中考预测答图解：(1)证明：OCOB，OCBOBC，AB 是O 的切线，OBAB，OBA90，ABPOBC90，OCAO，AOC90，OCBCPO90，APBCPO，APBABP，APAB；(2)如答图，作 OHBC 于 H.在 RtOAB 中，OB4，AB3，OA5，APAB3，3242PO2.在 RtPOC 中，PC2，OC2OP25 PCOH OCOP，1212OH，OPOCPC4 55CH ，OC2OH28 55OHBC，CHBH，BC2CH，16 55BPBCPC2.16 5556 55类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 Z124，A 是O 外一点，AO 的延长线交O 于点 C，点 B 在圆上

3、，且 ABBC，A30，求证：直线 AB 是O 的切线图 Z124 经典母题答图证明：如答图，连结 OB，OBOC，ABBC，A30，OBCCA30，AOBCOBC60.ABO180(AOBA)180(6030)90，ABOB，又OB 为O 半径，AB 是O 的切线【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径” 【中考变形】12016黄石如图 Z125，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上(异于 A，B)，ADCD.(1)若 BC3，AB5，求 AC 的值；(2)若 AC 是DAB 的平分线，求证：直线 CD 是O 的切线图 Z125 中考变形 1 答图解：(1)AB 是O 直径，C 在O 上，ACB90，又BC3，AB5，由勾股定理，得 AC4；(2)证明：如答图，连结 OC，AC 是DAB 的平分线，DACBAC，又ADDC，ADCACB90，ADCACB，DCACBA，又OAOC，OACOCA，OACOBC90，OCAACDOCD90，直线 CD 是O 的切线22017南充如图 Z126，在 RtACB 中，ACB90，以 AC 为直径作O 交

4、AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 CF2，DF4，求O 直径的长图 Z126 中考变形 2 答图【解析】 (1)连结 OD，欲证 DE 是O 的切线，需证 ODDE，即需证ODE90，而ACB90，连结 CD，根据“等边对等角”可知ODEOCE90，从而得证；(2)在 RtODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解：(1)证明：如答图，连结 OD，CD.AC 是O 的直径，ADC90.BDC90.又E 为 BC 的中点，DE BCCE，EDCECD.12ODOC，ODCOCD.EDCODCECDOCDACB90.ODE90，DE 是O 的切线；(2)设O 的半径为 x.在 RtODF 中，OD2DF2OF2，即 x242(x2)2，解得 x3.O 的直径为 6.【中考预测】如图 Z127，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，A2BCD，点 E在 AB 的延长线上，AEDABC.(1)求证：DE 与O 相切；(2)若 BF2，DF，求O 的半径10图 Z127 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结 OD.AB 是O 的直径，ACB90，AABC90，BOD2BCD，A2BCD，BODA，AEDABC，BODAED90，ODE90，即 ODDE，DE 与O 相切；(2)如答图，连结 BD，过点 D 作 DHBF 于点 H.DE 与O 相切，ACDBCDODBBDE90，ACDOBD，OBDODB，BDEBCD，AEDABC，AFCDBF，AFCDFB，ACF 与FDB 都是等腰三角形，FHBH BF1，HD3，12DF2FH2在 RtODH 中，OH2DH2OD2，即(OD1)232OD2，OD5.即O 的半径是 5.

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