1、2024届高三第二次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则A（1，1 B1，3 C（1，3 D3，）2某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为A B C D23若复数z满足，则zA B C D4若角的终边位于第二象限，且，则A B C D5若实数x，y满足约束条件，则的最大值为A2 B1 C2 D36同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的放射性和衰变原理来检测埋在地
2、下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后的含量满足关系式（其中动植物体内初始的含量为）现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70，可以推测该样本距今约（参考数据：，）A2750年 B2865年 C3050年 D3125年7在ABC中，“”是“ACB是钝角”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8若函数是偶函数，则aA1 B C1 D9函数在区间0，m上的最小值为，则m的最大值为A B C D10已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为A1，3 B11，13 C2，2 D12，1211已知，是双曲线的左，右焦点，点是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为A B C D12已知函数若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若抛物线过点（1，2），则该抛物线的焦点为_14函数在点处的切线方程为_1
3、5在ABC中，则BC边上的高为_16如图，在平行四边形ABCD中，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将ADC折起，直至满足条件，此时EF的长度为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间40，100，然后把样本数据分成40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）（1）计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；（2）拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间50，60）的概率18（12分）已知数列的前n项和，且的最大值为（1）确定常数k，并求；（2）求数列的前15项和19（1
4、2分）如图，在三棱柱中，点E，F分别为BC，的中点（1）求证：；（2）若底面ABC是边长为2的正三角形，且，求点到平面的距离20（12分）在平面直角坐标系中，若点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆上一点与点A连线的斜率为（1）求椭圆E的方程；（2）经过点A的直线分别交椭圆E与直线于P，Q两点，线段QB的中点为M，若点F的坐标为F（1，0），证明：点B关于直线FM的对称点在PF上21（12分）已知函数的导函数为f（x）（1）当时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）存在两个极值点，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M是曲线上的一动点（1）若直线l过点A（2，0），求直线l的斜率；（2）设直线l恒过定点N，若，求点M的极径23选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）若函数f（x）的最小值为m，且，求m的最小值2024届高三第二次联考文科数学参考答案及评
5、分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C解：由解得，由，解得，所以，选C2B解：由题可知该圆锥的底面半径为1，母线长为，所以侧面积为，选B3B解：设，选B4D解：因为角的终边位于第二象限，则，所以，选D5D解：满足线性约束条件的可行域如图阴影部分所示，取最大值即直线截距最大，所以在A处取得，解，得，此时，选D6B解：经过n年后含量为，所以有，代入关系式得，所以，所以，选B7C解：“”等价于“”，平方可化为，显然A，B，C不共线，原条件等价于ACB是钝角，选C8D解：因为，所以，又，所以，选D9C解：当，解，得或，根据正弦型函数的图象可知：m的最大值为，选C10C解：因为x，y均小于4，由茎叶图可知，中位数为，所以，样本的平均值为，要使样本的方差最小，即使最小，又，当且仅当“”时，等号成立，所以x，y均为2，选C11A解：设内切圆的半径为r，则有，所以，由双曲线的定义可知，继而，E的渐近线为，化简为，选A12B解：由幂函数的性质可知函数在（，t），t，）上为增函数，当时，当时，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只
6、需即可，解得或，所以t的取值范围为，选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（1，0）解：将（1，2）代入抛物线方程得，所以抛物线的焦点为（1，0）14解：因为，又，有，所以在点处的切线方程为，化简为15解：因为，由正弦定理得，设BC边上的高为h，则16解：由题意可知，所以，折起后如图所示，因为，易得，继而得到，分别过点E，F作AC的垂线EM，FN，垂足分别为点M，N，又，即有，同时易证得，所以三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）解：（1）因为，所以，由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于60分钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于60分钟的概率为0.1；（2）入样同学通关时间位于区间50，60）的有：（位），即为，入样同学通关时间位于区间40，50）的有：（位），即为，从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是，又因为所抽取2人的通关时间均位于区间50，60）的结果有3种，即，故此2人的通关时间均位于区间50，60）的概率为18（12分）解：（1）当时，取得最大值，即，所以，当时，
7、当时，（符合上式），所以；（2）19（12分）解：（1）作的中点D，连接DF，DB，因为点D，F分别为，的中点，所以，且，又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可知：，且，所以四边形DFEB是平行四边形，所以，又，所以；（2）作AC的中点G，连接，GB，因为，所以是正三角形，又点G为AC的中点，所以，由，有，因为，所以，又，所以，所以是三棱锥的高，所以，又因为，点到平面的距离即为点C到平面的距离，又，设点C到平面得距离为d，则，解得20（12分）解：（1）设点A的坐标为（a，0），因为点与点A连线的斜率为，由，解得，将代入，解得，所以椭圆E的方程为；（2）“点B关于直线FM的对称点在PF上”等价于“FM平分PFB”设直线AP的方程为，则Q（2，4k），M（2，2k），设点，由，得，得且，当时，此时，所以，Q（2，2），M（2，1），此时，点M在PFB的角平分线所在的直线或上，FM平分PFB，当时，PF的斜率为，所以PF的方程为，所以点M到直线PF的距离，点B关于直线FM的对称点在PF上21（12分）解：（1）当时，令函数，则有，当时，h（x）为减函数；当时，h（x）为增函数，所以，即f（x）的最小值为2；（2）因为，有，令，有，当时，因为，所以，即f（x）在（0，）上为增函数，所以至多存在一个，使得，故f（x）不存在两个极值点，当时，解，得，故当时，f（x）为减函数，当时，f（x）为增函数，所以，当，即时，f（x）在（0，）上为增函数，故f（x）不存在极值点，当，即时，又因为，所以，又由第（1）问知：，又因为，所以存在，使得，且f（x）在，上为增函数，在上为减函数，所以，分别是的极大值点和极小值点，综上所述，a的取值范围为22（10分）解：（1）将A（2，0）带入直线l的参数方程，即，解得，所以直线l的斜率为；（2）由直线l的参数方程可知点N的坐标为（0，1），又点M是曲线上的一动点，设点M的极坐标为，在OMN中，由余弦定理得：，即，即，解得或23（10分）解：（1）当时，等价于；当时，原不等式等价于，解得，当时，原不等式等价于，解得，当时，原不等式等价于，解得，综上所述：不等式的解集为；（2）因为，即，又由柯西不等式，所以，当且仅当“”，即“，”时，等号成立
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