1、成都市2021级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分第I卷（选择题）1至2页，第卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，务必将自已的姓名考籍号填写在答题卡规定的位置上2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，只将答题卡交回第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数（是虚数单位），则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用复数的除法法则化简复数，再求模即可.【详解】由题意，所以.故选：2. 命题“，”的否定形式是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定直接可得解.【详解】由命题“，”，可知其否定为“，”，故选：C.3. 如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（）A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由阴影部分为以全集为A的集合A与集合B交集的补集求解.【详解】解：因为，所以，即阴影部分表示的集合为，故选：B4. 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A. 变量与呈现正相关，且B. 变量与呈现负相关，且C. 变量与呈现正相关，且D. 变量与呈现负相关，且【答案】C【解析】【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关；再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数.故选：C.5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据任意角三角函数定义，结合角终边经过点，求出、，再利用二倍角公式即可求解.【详解】因为终边经过点，所以，则，所以有，所以.故选：A6. 已知函数的值域为若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
3、】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.【详解】当时，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.7. 筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章水轮赋：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（）A. 9秒B. 12秒C. 15秒D. 20秒【答案】D【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图，由已知可得，所以，处劣弧时高度不低于米，转动的角速度为/每秒，所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒，故选：D.8. 现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】【分析】根据题意，由分步计数原理计算“用四种不同得颜色要对如图形中的五部分进行着色”和“任意有公共边的两块着不同颜色”的涂色方法，由古典概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.故选：C9. 已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标若点的广义坐标分别为，则“是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据向量的垂直和线性运算即可判断.【详解】根据题意得：，.因为，所以，则，即因为向量是平面内的一组基向量，所以.故“是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.10. 已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴
5、的距离之和的范围是，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用距离和的范围求出，利用离心率的公式可得答案.【详解】设，由椭圆的对称性，不妨设点位于第一象限或轴正半轴上，由题意，结合椭圆性质有且，其中；所以，解得，椭圆的离心率为.故选：D.11. 在所有棱长均相等的直四棱柱中，点在四边形内（含边界）运动当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据轨迹的长度求出棱长，利用四棱柱的表面积公式可求答案.【详解】设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，由，可得；由直四棱柱的性质可得，平面，所以；因为，所以.在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分,即图中圆弧.因为，所以，因为点的轨迹长度为，所以，即.四棱柱的表面积为.故选：A.12. 已知是抛物线上任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的切线性质，可转化为求的最小值，结合二次函数求值域可得解.【详解】如图所示，当劣弧长度的最小时，最小，即最小，即最大，
6、即取的最小值，设，则，则，当时，取最小值为，即，即，即，即劣弧长度的最小值为，故选：D.第卷：（非选择题，共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13. 一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是_.（写出一个你认为正确的答案即可）【答案】三棱柱（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，由三视图的知识，即可得到结果.【详解】由三视图可知，正视图是三角形的几何体可以是三棱柱，三棱锥，圆锥等.故答案为：三棱柱（答案不唯一）14. 已知函数，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以在上单调递增，不等式，即，等价于，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：15. 平面四边形中，则的最大值为_【答案】4【解析】【分析】根据题意，设，且，在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，因为，设，且，在中，可得，即，可得，
7、在中，可得，所以，当时，即时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故答案为：.16. 已知函数给出下列四个结论：；存在，使得；对于任意的，都有；对于任意的，都有其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】对于，借助中间值，计算即可判断；对于，构造函数，由零点存在性定理判段即可；对于，构造函数，根据函数单调性判断即可；对于，分段讨论当，当，再将函数，两边同时取对数化简可得，提公因式构造不等式判断可得，根据绝对值的意义判断即可.【详解】因，所以，因为，所以，故错误；若，则，即，即，令，因为，所以存在，使得，即，所以存在，使得，故正确，因为，因为在上单调递减，所以也单调递减，所以，因为在上单调递增，所以也单调递增，所以，即，即对于任意的，都有，故正确；由可知，存在，使得，结合可知当，即，可知当，即，因为，得，即，当，有，因为，所以，所以，所以，即，当，有，因为，所以，所以，即，所以对于任意，都有，故正确.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决本题，在于构造函数，利用零点存在性定理判段；本题，关键在于构造函数，根据复合函数单调性判断；本题，关键在于根据的结论分段讨论，将函数两边同时取对数可
8、得，结合计算有关结论，提公因式构造不等式得，然后判断即可.三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 记.（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；（2）记是的导函数，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与关系求解即可.（2）先求导，再根据错位相减求解即可.【小问1详解】当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以【小问2详解】-得，18. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望参考数据：参考公式：若，有，【答案】18. 1587名19. 0.0989；期望为【解析】【分析】（1）由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，87分以上共有228人，结合原则，求得，再由甲市学生在该次考试中成绩为76分，且求解；（2）由随机变量服从二项分布，即求解【小问1详解】解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得即，解得甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即学生在甲市本次考试的大致名次为1587名【小问2详解】在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974抽取1名化学成绩在之外概率为0.0026随机变量服从二项分布，即的数学期望为19. 如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点（1）证明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理即可证明平面，从而证明；（2）根据题意，由二面角的定义，结合
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