1、浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题12025届浙江三模联考已知集合，则( )A.B.C.D.1答案：A解析：由可解得，所以，由可解得，又，所以，所以.故选：A.22025届浙江三模联考若复数z满足，则( )A.B.C.D.2答案：B解析：设，则，所以，故，故选：B.32025届浙江三模联考已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.D.3答案：D解析：已知单位向量，故.由得，故，即，因此，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D.42025届浙江三模联考“”是“函数的值域为R”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4答案：A解析：若，因为，所以函数的定义域为，故，所以函数的值域为R，即“”是“函数的值域为R”的充分条件；若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含，即，解得或，即“”不是“函数的值域为R”的必要条件，综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件，故选：A.52025届浙江三模联考若坐标原点O关于动直线的对称点为A，则点A的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲
2、线D.抛物线5答案：A解析：由得，所以直线l过定点，又由对称性可知，所以点A到点B的距离为，所以点A的轨迹为圆.故选：A.62025届浙江三模联考已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则( )A.，B.，C.，D.，6答案：C解析：由得，则，即，则当时，（k为奇数）或（k为偶数），则交点坐标为（k为奇数），（k为偶数），则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为，则平行四边形的面积为，得，由，得，即，因为，所以.故选：C72025届浙江三模联考已知函数满足，且对，则满足的正整数n的最大值为( )A.2026B.2027C.2028D.20297答案：C解析：由题，所以函数是周期为3的周期函数，又，所以满足的正整数n的最大值为2028.故选：C.82025届浙江三模联考在平面直角坐标系中，已知曲线，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为( )A.B.C.2D.8答案：B解析：设，则，当点P位于坐标原点时，；当点P异于坐标原点时，可得，而，且，故令，且，则，由余弦函数性质得，故的最大值为，故B正确.故选：B.二、多项选择题92025
3、届浙江三模联考在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次点球命中的概率分别为，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，则下列结论正确的是( )A.若，则B.C.若，则D.若当且仅当时，取得最大值，则9答案：ACD解析：由题意，随机变量，对于A，故，若，则，故A正确；对于B，若，则，化简整理得，即，所以时，故B错误；对于C，由题意，所以，由得，故，即，故C正确；对于D，由题意，则，解得，故D正确.故选：ACD.102025届浙江三模联考已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是( )A.椭圆C的离心率B.C.的内切圆半径为D.10答案：AC解析：对于选项A：设椭圆的焦距为，由椭圆的对称性可知，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，所以，即，故B错误；对于选项C：因为，则，所以，又因为的周长，设内切圆半径为r，则，故C正确；对于选项D：由角平分线定理得，故D错误；故选：AC.112025届浙江三模联考如图，四棱锥中，侧
4、面为等腰直角三角形，底面为矩形，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是( )A.平面平面B.四棱锥的内切球半径为C.四棱锥的体积为D.11答案：ABD解析：对于A，因为，平面，所以平面，所以平面平面，A正确；对于B，因为侧面为等腰直角三角形，所以，因为平面，平面，则，则，为直角三角形，且，所以，易知平面，该四棱锥的内切球在平面上的“正投影”为的内切圆，设的内切圆半径为r，则，所以四棱锥的内切球半径为，B正确；对于C，分别取，的中点E，F，连接，则，又平面截内切球所得的圆为大圆，且切点在上，设，则，所以，得，所以四棱锥的体积，C错误；对于D，易知E为的外接圆圆心，平面，又四边形为矩形，所以外接球球心为为的中点，故，D正确.故选：ABD.三、填空题122025届浙江三模联考已知函数，为奇函数，则_.12答案：解析：因为函数为奇函数，所以，当时，所以，所以.故答案为：.132025届浙江三模联考已知，且满足，则，则_.13答案：/0.8解析：因为，所以，由得，即，所以，所以，得，所以.故答案为：142025届浙江三模联考人工智能（ArtificialInt
5、elligence），英文缩写为.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为_.14答案：解析：设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况，生成的5个数字中有个0，个1，则，由题可知.若获得二等奖，则S为3的正整数倍，故可取的值为1，4，7.当时，的取值为，共有种情况；当时，的可能取值为，共有种情况；当时，的取值为，共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况，且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得.故答案为：四、解答题152025届浙江三模联考如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，M，N为别为棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.15答案：(1)证明见解析；(2).解析：（1）
6、取中点E，连接、，因为底面为矩形，N为的中点，所以，平面，平面，则平面，因为M为中点，所以，平面，平面，则平面，因为且都在平面内，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）由题，易知直线，两两垂直，以D为坐标原点，以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.162025届浙江三模联考已知函数.(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；(2)当时，证明：.16答案：(1)(2)证明见解析解析：（1）函数的定义域为R，所以，又，所以在处的切线方程为，将点代入得，解得.（2）证明：，设，则，因为，所以当时，即单调递减；当时，即单调递增；时，即，所以当时，.，所以存在唯一的，使得，即，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，所以，因为，所以，故，则，得证.172025届浙江三模联考如图，四边形中，对角线，相交于点O，且和的外接圆半径相等.(1)若，求的长；(2)若，求.17答案：(1)(2)解析：（1）由题，因为和的外接圆半径相
7、等，由正弦定理得，所以，设，则，在中，由余弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，即，所以，解得，即，在中，由余弦定理得：，即，解得或（舍），所以.（2）在中，由正弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，即，因为，所以，所以或，若，则，此时，易得，不成立，所以，故，解得（舍）或，因为，所以，故.182025届浙江三模联考已知双曲线，且四点，中恰有三点在E上.(1)求双曲线E的标准方程；(2)如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且.（）证明：Q，O，R三点共线；（）求面积的最小值.18答案：(1)(2)（）证明见解析；（）4解析：（1）由题，点，中恰有三点在E上，根据双曲线的对称性，点，都在双曲线上，又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点不在双曲线E上，所以点，为双曲线上的点，代入得解得，所以E的标准方程为.（2）（）证明：由题可知直线的斜率存在，设，则，故，把代入得：，由题知，设，则，则，所以，所以，同理可得，所以Q，O，R三点共线，（）因为，所以，所以，所以，由（）知，又，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最小值为4.192025届浙江三模联考已知数列的前n项和为，且，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行n列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这n个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作.若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M.(1)求数列的通项公式；(2)当数列的项数为4时，求M的值；(3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值.19答案：(1)(2)(3)答案见解析解析：（1）由题，解得，由得，两式作差得，即，所以，累乘得：，即，因为，符合上式，所以.（2）由（1）知，所以，当数列的项数为4时，可知，若数列为数列的“异位数列”，则：当时，；或，；或，共3种情况.同理当或时，对应的排列各有3种情况，所以.（3）因为数列为数列的“异位数列”，所以，即，所以，所以，当，时，若对任意的j，都有，取等号，此时，所以当，时，的最小值为n，当，时，的不可能取到等号，因为存在j，使得，将，n分为k组，不妨为，时，可以取到等号，此时，此时，所以当，时，的最小值为，综上，当n为偶数时，的最小值为n；当n为
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