1、辽宁省普通高中2025届高三下学期三模数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题12025届辽宁三模若向量,则( )A.B.C.D.1答案：A解析：由,得,因为,所以,所以.故选:A22025届辽宁三模已知集合,则下列判断错误的是( )A.B.C.D.2答案：A解析：依题意可得,所以,.故选:A.32025届辽宁三模下列各二项式中,其展开式不存在常数项的是( )A.B.C.D.3答案：D解析：设二项展开式的第为常数项.对A:由,由,所以展开式的第6项为常数项,即的展开式有常数项;对B:由,由,所以展开式的第5项为常数项,即的展开式有常数项;对C:由,由,所以的展开式的第9项为常数项,即的展开式有常数项;对D:由,由,所以的展开式不存在常数项.故选:D42025届辽宁三模已知为虚数单位,则( )A.B.C.D.4答案：D解析：因为,所以,则,故.故选:D52025届辽宁三模如图,这是一块宋代椭圆形玉璧,采用上好的和田青玉雕琢而成,该椭圆形玉璧长10.2cm,宽7.1cm,玉璧中心的椭圆形孔长1.6cm,宽1.0cm,设该玉璧的外轮廓为椭圆M,玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N,
2、则( )A.M的离心率等于N的离心率B.M的离心率小于N的离心率C.M的离心率大于N的离心率D.M与的离心率无法比较大小5答案：B解析：依题意可得M的长轴长为10.2cm,短轴长为7.1cm,N的长轴长为1.6cm,短轴长为1.0cm.因为,所以,又,所以越大,离心率越小,所以M的离心率小于N的离心率.故选:B.62025届辽宁三模在正方体中,从直线,以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线,则这2条直线平行的概率为( )A.B.C.D.6答案：D解析：因为,所以这2条直线平行的概率为.故选:D.72025届辽宁三模如图,在四边形中,则的最小值为( )A.2B.C.D.7答案：C解析：设,则,则在中利用余弦定理得,当,即时,取得最小值.故选:C82025届辽宁三模函数的最小值为( )A.4B.C.D.58答案：C解析：因为,当时,;当时,如图所示:设,于B,则,由图可知,的最小值为点A到直线的距离d.因为直线的方程为,即,所以,故的最小值为.二、多项选择题92025届辽宁三模若关于x的不等式在上恒成立,则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有( )A.B.C.D
3、.9答案：BCD解析：的解集为,A错误;当时,（当且仅当时,等号成立）,因为,所以在上恒成立,B正确;的解集为,在上恒成立,C正确;当时,（当且仅当时,等号成立）,因为,所以在上恒成立,D正确.故选:BCD.102025届辽宁三模函数的部分图象可能为( )A.B.C.D.10答案：ABC解析：对于选项A,由图可知,的最小值为0,则,当1时,的部分图象可以如选项A所示.对于选项B,当时,的部分图象可以如选项B所示.对于选项C,由,得,即,当时,的部分图象可以如选项C所示.对于选项D,由,得,即,则,此时,排除D.故选:ABC112025届辽宁三模已知函数对任意x,都有,函数的定义域为,且的导函数满足,则( )A.B.C.D.当时,可能为偶函数11答案：BCD解析：对A:令,得,即,A错误.对B:令,得,得.由,得,构造函数,则,则为减函数,则,即,则,所以,故B正确;对C:令,得.根据B的结论,得:,所以,故C正确;对D:若,则可取满足,则为偶函数,故D正确.故选:BCD三、填空题122025届辽宁三模若抛物线经过点,则该抛物线的焦点坐标为_.12答案：解析：将点C的坐标代入,得,则该抛
4、物线的焦点坐标为.故答案为:132025届辽宁三模已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游,他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游,将这200人分为东、西两小组,经过统计得到如下列联表:去云南旅游去河南旅游合计东小组6040100西小组7030100合计13070200由表中数据可知,这200人选择去云南旅游的频率为_（用百分数表示）,_（填入“有”或“没有”）99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.参考公式:.0.050.010.0013.8416.63510.82813答案：65%;没有解析：由表中数据可知,这200人选择去云南旅游的频率为.因为,所以没有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.故答案为:65%,没有.142025届辽宁三模已知顶点为P的圆锥有且仅有一条母线在平面内,B是母线的中点,点.若与圆锥底面所成的角为,圆锥外接球的表面积为,且圆锥底面圆心O到直线的距离为,则与圆锥底面所成角的正弦值为_.14答案：/0.75解析：因为与圆锥底面所成的角为,所以圆锥的轴截面为正三角形,设圆锥外接球的半径为R,则圆锥的轴截面外接圆的半径为R,由正弦定理得,所以,解得
5、.过点P作,由题意知平面与圆锥相切于直线,则平面,设O在内的射影为M,则M为的中点,过点M作的垂线,分别交,l于点N,Q,即,又,则,因为,且,平面,则平面,又平面,平面,所以,即,从而,又,所以,由,得,所以,设与圆锥底面所成的角为,因为与圆锥底面垂直,又,所以.故答案为:.四、解答题152025届辽宁三模已知函数.（1）若,求曲线在点处的切线方程;（2）若,证明:.15答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为,所以,则,则.因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.（2）的定义域为,令,得.令,得,则在上单调递减;令,得,则在上单调递增.因为,所以,即.162025届辽宁三模甲、乙两人进行一场网球比赛,比赛采用三局两胜制,每局都没有平局,且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始,若上一局甲获胜,则下一局甲获胜的概率为,若上一局甲未获胜,则下一局甲获胜的概率为.（1）当时,求甲第二局获胜的概率.（2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为.求p;记这场比赛需要进行的局数为X,求X的分布列与期望.16答案：（1）（2）;分布列见解析,期望为.解析：（1）设“甲第局获胜”,其中,2,3,依题意
6、得,当时,由全概率公式得.,所以甲第二局获胜的概率为.（2）甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为,依题意得,解得.X的可能取值为2,3.,所以X的分布列为X23P.172025届辽宁三模如图,在高为6的直三棱柱中,底面的周长为12,M,N分别为棱,上的动点.（1）若,证明:平面.（2）求的最小值.（3）若,求平面与底面夹角的余弦值的最大值.17答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：（1）因为底面的周长为12,且,所以,则,所以.在直三棱柱中,底面,又平面,则,又,、平面,所以平面.（2）将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形,如图所示,其中,所以,所以的最小值为.（3）设,的中点分别为O,连接,因为三棱柱是直三棱柱,则,.因为,底面的周长为,所以,所以,则.以O为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,又,则,则,.设平面的一个法向量为,则,即,取,得.易得底面的一个法向量为,则,当时,取得最小值,则取得最大值,且最大值为,所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为.182025届辽宁三模已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为.（1）求C的离心率.（2）若过点且斜率为1的直线与C交于A,B两点（A在左支上,B在右支上）,且.求C的方程;已知不经过点的直线l与C交于E,F两点,直线l的斜率存在且直线与的斜率之积为1,证明:直线l过定点.18答案：（1）2（2）;证明见解析解析：（1）由题意可知,则.（2）直线的方程为,联立得,.设,则,由,得,代入,得,则C的方程为.证明:设,l的方程为.联立得,且,.因为,所以,即,则,整理得,即.因为点P不在直线l上,所以,则,则,故直线l过定点.192025届辽宁三模已知正数m的整数部分记为,例如,.（1）若,求数列的前项和.（2）设.求;求数列的通项公式;求数列的前100项和.19答案：（1）（2）;81600解析：（1）,当时,.（2）,因为,且,所以.令,则,则,所以.因为,所以,又为正整数,所以.方法一:因为,所以数列的前100项和为.方法二:数列的前100项和为.
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