1、新高考1卷2025届高考数学4月模拟预测卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知集合，则( )A.B.C.D.2样本数据89，84，98，74，68，88，79，81，90，92的中位数为( )A.68B.78C.84D.863已知向量，则( )A.B.C.2D.14当时，函数有两个零点，则a的取值范围是( )A.B.C.D.5将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为( )A.B.C.D.6已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.7如图是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转得到图，若为正三角形，则图所示的几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.8已知函数的定义域为R，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是( )A.B.C.D.二、多项选择题9已知复数,（i为虚数单位）,则( )A.B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点位于第四象限10已知数列和满足，则( )A
2、.B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.11已知抛物线的准线方程为，焦点为F，O为坐标原点，是C上两点，则下列说法正确的是( )A.点F的坐标为B.若，则AB的中点到x轴距离的最小值为8C.若直线AB过点，则以AB为直径的圆过点OD.若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F三、填空题12已知角是第二象限角，且，则_.13已知过原点O的直线与双曲线（，）交于A，B两点，其中点A在第二象限，F为C的左焦点，点D为AF的中点，.若为等腰三角形，则C的离心率为_.14已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为_.四、解答题15已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若D为BC的中点，且，求的面积.16已知椭圆的右焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的标准方程.（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.17如图，在四棱台中，平面，.（1）若，证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.18已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程
3、.（2）若有两个不同的极值点，（）.（）求实数m的取值范围；（）证明：.19定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，（，），且，那么称子集族为集合U的一个k划分.已知集合（，）.（1）若.写出集合M的所有3划分；从集合M的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率.（2）设集合A为集合M的非空子集，随机变量X表示子集A中的最大元素.若，求随机变量X的分布列和数学期望.参考答案1答案：C解析：由，得，故，因此.故选C.2答案：D解析：将数据从小到大排列为68，74，79，81，84，88，89，90，92，98，则中位数为.故选D.3答案：A解析：由，解得，所以.故选A.4答案：D解析：由，得.函数有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点.作出，的图象，如图.由图象可知，解得.故选D.5答案：B解析：易知5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为.若使每一行的3个数字之积都能被3整除，则中间行必有一格填奇数3，9中的一个，另一个填入不含6的一行，有种方法，再排奇数1，5，7，有种方法，因此每一行的3个数字之积都能被3整除的事件含有的基本事件
4、数为，所以每一行的3个数字之积都能被3整除的概率.6答案：C解析：因为，当时，由指数函数单调性可知，在上单调递减，此时；当时，由一次函数的单调性可知，在上单调递减，此时.因为方程有两个不相等的实数根，所以函数的图象与的图象有两个交点.因为函数是增函数，当时，得，当时，得，所以，所以实数a的取值范围为，故选C.7答案：A解析：如图，设正四棱柱的上、下底面中心分别为点M，N，过点M作于点H，连接BH，BN.易得四边形MNBH为直角梯形.因为是边长为2的正三角形，所以，且，又，所以.设该几何体外接球的球心为点O，半径为R，则点O为MN的中点，故.连接OE，ME，在中，故该几何体外接球的表面积为.8答案：D解析：因为是奇函数，所以.在中，令，得，所以，所以，故A不一定正确，C错误.在中，令，得，得，所以，所以，所以B错误，D一定正确.故选D.9答案：AC解析：A选项：由,则,A选项正确;B选项：的虚部为,B选项错误;C选项：,故,C选项正确;D选项：,其在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限,D选项错误;故选：AC.10答案：BCD解析：由题意得，所以，故A不正确；由，得，又，所以数列是首项
5、为1，公比为的等比数列，故B正确；由，得，即，又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，故C正确；易得，所以，所以，所以，又，所以，则成立，故D正确.11答案：AD解析：对于A，因为抛物线C的准线方程是，所以，解得，则抛物线C的方程为，焦点F的坐标为，A正确.对于B，易知AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由得，则，所以，化简得.易得，所以线段AB中点的坐标为，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以AB的中点到x轴距离的最小值为6，B错误.对于C，设AB的方程为，由选项B知，又AB的中点为，所以中点到原点O的距离为，所以以AB为直径的圆不过点O，C错误.对于D，若，则，所以，所以AB的方程为，该直线过点，D正确.12答案：解析：方法一：因为角是第二象限角，所以，则，所以.方法二：因为角是第二象限角，所以，则.13答案：解析：设为双曲线C的右焦点，连接，如图.因为点D为AF的中点，O为的中点，所以.设双曲线C的焦距为2c.因为为等腰三角形，所以.由双曲线的对称性可知，则.由得，所以，所以，.由双曲线的定义得，所以，整理得，所以C的离心率为.14答案：解析：由，得，即.令，则对任意的，恒成
6、立.，令，则，当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，故，所以单调递增.所以，即，又，当且仅当时等号成立，所以，即实数a的取值范围为.15答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理得，又，所以由余弦定理，因为，所以.（2）由及，得，所以.因为，所以，即，得，得，所以，所以的面积为.16答案：（1）（2）的面积存在最大值，为解析：（1）易得，即，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为.由消去x得.设，则，所以，.易得直线的斜率，所以直线的方程为，令，得，即直线与x轴交于一个定点，记为，则，当且仅当时等号成立，故的面积存在最大值，为.17答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）在中，由正弦定理得，得，故，即.（另解：在中，由余弦定理得，则，即，得，于是，则）因为平面，平面ABCD，所以，又，与有交点，平面，所以平面，又平面，所以，因此，又平面，平面，所以平面.（2）结合（1）可得，根据，可得.连接，因为，所以，.由题意知，两两垂直，故以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，.设平面的法向量
7、为，则，即，取，则.设平面的法向量为，则，即，取，则.设二面角的大小为，则，因此二面角的正弦值为.18答案：（1）（2）（）（）证明见解析解析：（1）当时，则，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）（）的定义域为，由题意得，为的两个零点，且，即，为方程的两个不同的根，即，为方程的两个不同的根.设，则直线与的图象有两个交点.，因为，所以，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以.易知当时，当时，故要使直线与的图象有两个交点，则，即实数m的取值范围为.（）由（）知，.设，则，令，则当时，所以在上单调递减，则当时，所以当时，所以在上单调递减，故当时，则当时，.所以，即，由（）可知在上单调递减，所以，则，所以，即，得证.19答案：（1）见解析（2）分布列见解析，解析：（1）当时，集合M的所有3划分为；.集合M的所有2划分的个数为；集合M的所有3划分的个数为6；集合M的4划分只有1个.所以集合M的所有划分共有14个.设从集合M的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分为事件F，则.（2）集合的非空子集的个数为，所以集合A共有种可能.当时，最大元素X为的子集可视为集合的子集与集合的并集，而集合的子集个数为，所以，所以，可得，解得.所以随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，则，随机变量X的分布列为X12345P故.第 16 页 共 16 页四川天地人教育资料出品
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