1、广西壮族自治区柳州市2025届高三三模数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.1答案：D解析：因为，且，所以，所以实数a的取值范围是，故选:D.2在复平面内，复数z对应的向量，则( )A.B.C.D.2答案：A解析：由复数z对应的向量，则，所以.故选：A3在等差数列中，则( )A.B.C.D.3答案：A解析：设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，故选:A.4已知函数，则( )A.B.C.4D.164答案：C解析：因为，则，则.故选：C.5在展开式中，的系数为( )A.15B.90C.270D.4055答案：B解析：在展开式中，的项为，所以所求的系数为90.故选：B6有男女教师各1人，男女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有( )A.10种B.12种C.15种D.20种6答案：C解析：从6人中任选3人，有种选法，其中，若全选男生或全选学生，有种选法，所以符合题意的选法为种.故选：C7已知双曲线.若直线与C没有公共点，则C的离心率的范围为( )A.B.C.D
2、.7答案：C解析：双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，所以，所以.所以e的范围为.故选：C8已知，设，则( )A.B.C.D.8答案：D解析：由，得，即，则，由，得，即，则，则，因此，所以，即.故选：D二、多项选择题9下列说法正确的是( )A.有一组数1、2、3、5，这组数的第75百分位数是3B.在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01C.随机变量，若，则D.以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，9答案：BD解析：对于A选项，因为，所以，这组数据的第75百分位数是，A错；对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01，B对；对于C选项，随机变量，若，解得，C错；对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，即，可得，故，D对.故选：BD.10已知F是椭圆的右焦点，是C上的一个动点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C的长轴长是2B.的最大值是C.的面积的最大值为，其中O为坐标原点D.直线与椭圆C相切时，10答案：BCD解析：对于A：由
3、，得，所以椭圆的长轴为，故A错误；对于B：由，得，则，由，得，所以，又二次函数的对称轴为，所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由题意得，所以，即的面积的最大值为，故C正确；对于D：由，消去y，得，因为直线与椭圆相切，只有一个交点，所以，解得，故D正确.故选：BCD.11我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则( )A.是奇函数B.C.在随m的增大而减小，在随m的增大而增大D.的面积随m的增大而减小11答案：ACD解析：A：因为偶函数，为奇函数，则是奇函数，故A正确；B：，故，故B错误；C：设，则，曲线在点A处的切线方程为，即；曲线在点B处的切线方程为，即；则，则令，则，得；得，则在上单调递减，在上单调递增，故C正确；D：的面积为，故面积随m的增大而减小，故D正确.故选：ACD三、填空题12圆被x轴截得的弦长为_.12答案：4解析：由题设可得圆心坐标为，半径为，故所求弦长为，故答案为：413
4、已知P为一个圆锥的顶点，是母线，该圆锥的底面半径为.B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为_.13答案：解析：如下图所示：因为B、C分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线，所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则，所以，异面直线与所成角的最小值为，且，故.故答案为：.14在中，P为内一点，且.若，则的最大值为_.14答案：解析：如图，因为，所以以A为坐标原点，方向为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则，所以，所以，因为，所以，所以，则，所以，所以当，即时，有最大值为，故答案为：.四、解答题15记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S.已知.(1)求A；(2)求函数在上的单调递增区间.15答案：(1)(2)和解析：（1）由，由余弦定理，代入即得：，化简得：因为，所以.（2），由，解得，又，所以或，所以单调递增区间为和.16已知函数.(1)若函数在处有极值10，求b的值；(2)对任意，在上单调递增，求b的最大值.16答案：(1)11(2)解析：（1）因为，
5、所以，因为函数在处有极值10，所以，得，.从而，即.解得或，若，则，此时，显然单调递增，不存在极值，矛盾.所以只可能，.当，时，.从而对有，这说明此时确实在处取到极小值10.故所求的b为11.（2）若，则当时，对有.所以在上单调递减.而，所以不可能在上递增，不满足条件；当时，对任意，有，且等号仅在一点成立.所以单调递增，故一定在上单调递增，满足条件.综上，b的最大值为.17如图，已知四棱锥中，顶点P在底面上的射影H落在线段上（不含端点），.(1)求证：平面；(2)若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值.17答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）由于平面，平面，故因为，所以底面为直角梯形，故，过，且与相交于，则，又，故，所以，由于，平面，所以平面，（2）由题意可知，过H作的垂线，垂足为E，连接，由于平面，平面，故，平面，故平面，平面，故，故为二面角的平面角，所以从而.18某学校有A、B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天
6、继续选择去B餐厅的概率为，如此往复.(1)求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率；(2)求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率；(3)记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式.18答案：(1)(2)(3)解析：（1）记事件:该同学第天去A餐厅，则，由概率乘法公式可得.（2）由对立事件的概率公式可得，由全概率公式可得.（3）记事件:该同学第天去A餐厅，则，由题意可知，由全概率公式可得，即，则，所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，故.19已知F是抛物线的焦点，过C上点的切线交y轴于点G，过点G的直线与C交于B，D两点.(1)求抛物线C的方程；(2)比较与的大小，并说明理由；(3)过点F的直线与C交于P，Q两点，的延长线分别交C于M，N两点，求点A到直线距离的最大值.19答案：(1)(2)，理由见解析；(3)解析：（1）已知点在抛物线上，将点A的坐标代入抛物线方程可得：，即，解得，所以抛物线C的方程为；（2）抛物线，则，当时，切线斜率，由点斜式可得过点的切线方程为，即；令，可得，所以；由，可得，所以，设直线的方程为，联立，解得：，由韦达定理得，根据抛物线的焦半径公式，因为，所以，同理，则，所以；（3）由题意知直线的斜率必存在，故设直线，联立，解得，由韦达定理得，设直线方程为，代入，有，由，所以，同理可得；所以直线的斜率，由直线的点斜式可得直线，结合，化简得，所以直线过定点，要使点A到直线距离的最大，则只需，从而最大值为.第 14 页 共 14 页四川天地人教育资料出品
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