1、安庆二中 20242025 学年度第二学期期中考试高一数学试题命题人：肖成效 审题人：莫云生（考试时间：120 分钟 分值：150 分）一单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果.【详解】对于不等式 ，解得 ，所以 ，对于不等式 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 .故选：B.2. 已知 ， 为纯虚数，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据复数运算化简 ，再由纯虚数的定义列方程求 .【详解】因为 为纯虚数，所以 ，且 ，所以 .第 1页/共 18页故选：B.3. 如图，矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中，那么 的面积为（ ）A. 4 B. C. 8 D.【答案】D【解析】【分析】求出矩形 的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案.【详解】依题意，矩形 的面积 ，而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的 ，
2、所以 的面积为 .故选：D4. 若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.【详解】由 ，得 .故选：B5. 如图所示，在ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则 =（ ）第 2页/共 18页A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.【详解】依题意， .故选：B6. 函数 的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数 的奇偶性，并利用导数分析函数 在 上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数 的定义域为 ， ，所以，函数 为奇函数，排除 BD 选项.当 时， ，则 ， ，所以，函数 在 上为增函数，排除 C 选项.第 3页/共 18页故选：A.7. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上下底面边长分别为 2，4，侧面积为 24，则该正四棱台的体积为（ ）A. 56 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的
3、体积公式求解.【详解】由 为四棱台的斜高.设四棱台的高为 ，则 ，所以四棱台的体积为： .故选：C8. 已知四边形 中， ，点 在四边形 的四条边上运动，则 的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意分析可知四线性 关于直线 对称，且 ，只需考虑点 在边 上的运动情况即可，然后分类讨论求出 的最小值.【详解】如图所示，因为 ，且 ，所以 垂直且平分 ，第 4页/共 18页则 为等腰三角形，又 ，所以 为等边三角形.则四边形 关于直线 对称，故点 在四边形 的四条边上运动时，只需考虑点 在边上的运动情况即可，因为 ，易知 ，即 ，则 ，当点 在边 上运动时，设 ，则 ，所以 ，当 时， 的最小值为 ；当点 在边 上运动时，设 ，则 ，所以 ，当 时， 的最小值为 ；综上， 的最小值为 ，故选：C .二多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知复数 ，以下四个说法中正确的是（ ）A.B. 若 ，则C.D. 若 是方程 的虚根，则 互为共轭复数【答案】ACD第 5页/共 18页【解析】【分析】根据共轭复数的性质，可
4、判定 A 正确；根据 ，可判定 B 不正确；根据复数模的运算，以及基本不等式，可判定 C 正确；根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判定 D 正确.【详解】对于 A 中，设 ，则 ，所以又由 ，所以 ，所以 A 正确；对于 B 中，取 ，满足 ，则 ，所以 ，所以 B 不正确；对于 C 中，设 ，则 ，又由 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，所以 C 正确；对于 D 中，利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，即可得到 D 正确.故选：ACD.10. 已知 的内角 所对的边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）A. 若 ，则B. 若 ，则三角形有两解C. 若 面积为 ，则 .D. 若 ，则 一定为等腰直角三角形【答案】AC【解析】第 6页/共 18页【分析】对于 A：利用正弦定理化简即可；对于 B：利用余弦定理运算求解即可；对于 C：利用面积公式和余弦定理化简即可；对于 D：举反例即可.【详解】对于选项 A：因为 ，则 ，所以 ，故 A 正确；对于选项 B：由余弦定理可得 ，即 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），所以三角形有一解，故 B 错误；对于选项 C：因为 ，则 ，可得 ，
5、且 ，所以 ，故 C 正确；对于选项 D：例如 ，则 ，可得 ，符合题意，但 为等边三角形，故 D 错误；故选：AC.11. 定义在 R 上的奇函数 ，满足 且 在 上单调递减， ，则（ ）A. 函数 图象关于直线 对称B. 函数 的周期为 4C.D. 设 ， 和 的图象所有交点横坐标之和为【答案】AC【解析】【分析】A：将 变形为 即可判断；B：根据 的大小关系可作出判断；C：根据 B 中计算出的周期化简 ，结合 的奇偶性可判断结果；D：先分析 的图象的对称性，然后作出 在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断.第 7页/共 18页【详解】对于 A：因为 ，所以 ，所以 图象关于直线 对称，故 A 正确；对于 B：因为 ，所以 ，又因为 是 R 上的奇函数，所以 ，所以 ，所以 ，所以 的周期为 ，又因为 ，所以 ，所以 的周期不可能为 ，故 B 错误；对于 C：因为 的周期为 ，所以，因为 是 R 上的奇函数，所以 ，所以 ，故 C 正确；对于 D：因为 ，所以 ，所以 ，所以 的图象关于 对称，又因为 ，所以 ，所以 的图象也关于 对称，作出 在同一平面直角坐标系中的图象
6、如下图所示：由图象可知： 有两个交点，且交点关于 对称，所以 的图象所有交点横坐标之和为 ，故 D 错误；故选：AC.【点睛】结论点睛：对称性 常用结论如下：（1）若函数 满足 或 或 ，则 的一条对称轴为 ；第 8页/共 18页（2）若函数 满足 或 或 ，则 的一个对称中心为 .三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【答案】5 且【解析】【分析】依据两个向量的夹角为锐角，所以可得 且 ，然后计算即可.【详解】因为 与 的夹角为锐角，则 ，且 ，即 230，且 ，则5 且 .故答案为：5 且 .13. 如图，在离地面高 100 的热气球 M 上，观测到山顶 C 处的仰角为 山脚 A 处的俯角为 ，已知，则山的高度 BC 为_ .【答案】【解析】【分析】先求得 ，然后利用正弦定理求得 ，由此求得 .【详解】依题意可知三角形 是等腰直角三角形，所以 ， ，由正弦定理得 ，第 9页/共 18页所以 .故答案为：14. 已知 ，若方程 有四个不同的解 、 、 、 且 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作
7、出函数的图象可得： ， ，进而得到 ，求出的取值范围，利用函数的单调性进而求解.【详解】如下图所示：方程 有四个不同的解 、 、 、 且 ，且 ，由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，由图可得 ，由 可得 ，可得 ，由 可得 ，所以， ，因为函数 、 在 上均为减函数，故函数 在 上为减函数，第 10页/共 18页因为 ，则 ，因此， 的取值范围是 .故答案为： .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 求下列各式的值：（1） ；（2） 【答案】（1）20; （2）【解析】【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解.（2）利用同角关系计算即得.小问 1 详解】；【小问 2 详解】第 11页/共 18页16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .（1）求 ；（2）若 ，求 的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）边化角结合 即可求解；（2）由余弦定理、基本不等式结合三角形面积公式即
8、可求解；【小问 1 详解】由 结合正弦定理边化角可得：，即 ，又 ,所以 ，又 ，所以 ，所以 ；【小问 2 详解】由余弦定理，得 ，所以 .由基本不等式知 ，于是 .第 12页/共 18页当且仅当 时等号成立.所以 面积 ，当且仅当 时，面积 取得最大值 .17. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 的大小；（2）若 点在线段 BC 上，且 AD 平分 ，若 ，且 ，求 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得 ，结合 利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果；（2）由 ，利用三角形的面积公式化简可得 ，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果；【小问 1 详解】由正弦定理可得 ，所以 ，即 ，可得 ，整理可得 ，因为在 中， ，所以 ，又 ，所以 ；【小问 2 详解】第 13页/共 18页因为 ，AD 平分 ，所以 ，由 得 ，即 ，整理可得 ，因为 为角平分线，所以 ，在 中由正弦定理可得 ，在 中由正弦定理可得 ，又 ，所以 ，所以 ，由可得 ，在 中，由余弦定理可得，解得 .18. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，BC，AC 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 P.（1）令 ， ，用 ， 表示 ；（2）证明： ；（3）若 ， ， ，求MPN 的余弦值.第 14页/共 18页【答案】（1）（2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）由条件可得 ，结合 可解；（2）在 中，由余弦定理，得 ，在 中，由余弦定理，得 ；（3） 与 的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.【小问 1 详解】由题可知 是 重
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