1、2024 学年第二学期浙江 G5 联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1本卷共 5 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数 ， 为虚数单位，则 的虚部为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简 ，即可判断.【详解】因为 ，所以 的虚部为 .故选：B2. 已知 ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定义，结合数量积的坐标运算求解.【详解】根据题意， ，所以 在 方向上的投影向量 .第 1页/共 23页故选：A.3. 若 ， 表示两条直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若 ， ， ，则B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ， ，则D. 若 ， ， ，则【答
2、案】D【解析】【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系逐项判断.【详解】对于 A，若 ， ， ，则 ，或 与 相交，故 A 错误；对于 B，若 ， ， ，则 ，或 与 为异面直线，故 B 错误；对于 C，若 ， ， ，则 ，或 与 相交，故 C 错误；对于 D，由 可得 ，因为 ，所以 ，又因为 ，根据线面平行的性质定理可得 ，故 D 正确.故选：D.4. 如图的平面直角坐标系 中，线段 长度为 2，且 ，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为 ，则 （ ）A. 4 B. C. D.【答案】C【解析】第 2页/共 23页【分析】在 中求出 ， 的值，根据斜二测画法，得到 ， 的值，在 中，根据余弦定理求出 .【详解】因为 ， ，所以 ， ，由斜二测画法得 ， ，因为 ，所以在 中，故选：C.5. 在 中， 为边 的中点，对于 所在直线上的任意点 ，均有，则 的形状一定是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】以 为原点，直线 为 轴，建立平面直角坐标系，设，通过坐标运算即可求解.【详解】以 为原点，直线 为 轴，建立如图平
3、面直角坐标系，设 ，则 ，上式为开口向上的二次函数，当 时，因为 ，又因为 ，第 3页/共 23页所以 ，解得 ，即 ，故 ，所以 两点的横坐标相同，故 ,所以 为直角三角形.故选：B.6. 已知复数 ， 为虚数单位，则对于 ， 最小值为（ ）A. 2 B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据 得 ，进而得到 ，结合模的计算公式求出，进而得到答案.【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以当 时， 有最小值，最小值为 ，故选：D.7. 在正四棱锥 中， ，球 与四棱锥 的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球 的半径为（ ）A. B. 1 C. D.第 4页/共 23页【答案】C【解析】【分析】连接 、 ，设 ，连接 ，求出 内切圆的半径 ，即为球 的半径.【详解】连接 、 ，设 ，连接 ，则 平面 ，又 ，则 ， ，所以 ，设 内切圆的半径为 ，则 ，即 ，解得，所以球 的半径为 .故选：C8. 已知圆锥的轴截面顶角为 ，侧面展开扇形的圆心角为 ，则 为（ ）A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不存在【答案】C【解析】【分析】设圆锥的母线长为 ，即可得到圆锥的底面半径
4、，依题意可得 ，再分、 、 三种情况讨论，结合存在性定理判断即可.【详解】设圆锥的母线长为 ，则圆锥的底面半径 ，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长 ，因此 ，则 ，若 ，则 ， ，显然不满足 ，故舍去；若 ，所以 ，所以 ，则 ，第 5页/共 23页又 ，不满足 ，故舍去；若 ，令 ， ，则 在 上 单 调 递 增 ， 又 ，所以存在 ，使得 。即 在 上有解，符合题意；综上可得 为钝角.故选：C二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9. 设平面向量 ， ， 均为非零向量，且 ，则下列命题正确的是（ ）A. 若 ，则 B.C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】CD【解析】【分析】根据数量积的运算律判断 A、C、D，利用特殊值判断 B.【详解】对于 A：因为 ，所以 ，又 ，即 ，即 ，所以 ，即 ，故 A 错误；对于 B：令 ， ， 满足题意，但是 ， ，显然 不成立，故 B 错误；对于 C：若 ，又 ，所以 ，所以 ，故 C 正确；第 6页/共 23页对于
5、 D：由 A 知，由 可以得到 ，若 ，即 ，则 ，所以 ，则 ，所以由 ，可以得到 ，故 D 正确.故选：CD10. 已知四棱锥 如图， 且 ， ， 分别是 ， 的中点，则下列说法正确的有（ ）A. 平面B. 四棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则C. 平面 与平面 的交线记为 ，则直线 平面D. 平面 与平面 的交线记为 ，则直线 平面【答案】ACD【解析】【分析】利用线面平行的判定推理判断 AD；利用线面平行的判定性质推理判断 C；利用锥体积体公式求出体积比判断 B.【详解】对于 A，连接 ，连接 ，由 且 ， 为 中点，得 ，则 是 中点，而 是 中点，于是 ，而 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，A 正确；对于 B， ，由 是 中点，得 到平面 的距离是 到此平面距离 的 2倍，第 7页/共 23页而 ，因此 ，B 错误；对于 C， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，而平面 平面 ， 平面 ，于 ，而 平面 ，平面 ，因此直线 平面 ，C 正确；对于 D，延长 交于点 ，连接 ，直线 直线 ，由 且 ，得 为 中点，而 是 中点，则 平面 ， 平面 ，因此直线 平面 ，D 正确
6、.故选：ACD11. 图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚 处测得峰顶 的仰角为 ，从 出发选择地平面方向 使得 ，前进至点恰使 ，测得前进距离 若峰顶 在 所在地平面垂直投影点为 ，山坳处有一个憩息点 ，观测峰顶 的仰角为 ， 在地平面投影点 落在 上， ，下列说法正确的是（ ）A.第 8页/共 23页B.C. 从 点观测峰顶 的仰角为 ，则D. 从 点观测点 的仰角为 ，则【答案】ABD【解析】【分析】首先求出 ，即可求出 ，从而判断 A，过点 作 交 于点 ，求出 ，即可判断 B，利用锐角三角函数判断 C，利用余弦定理求出 ，即可判断 D.【详解】对于 A：依题意 ， ， 且 ，所以 ，则 ，因为峰顶 在 所在地平面垂直投影点为 ，即 平面 ， 平面 ，所以，所以 ，故 A 正确；对于 B：因为 在地平面投影点 落在 上，即 平面 ，且 平面 ，所以 ，过点 作 交 于点 ，则 ， ，又 ， ，所以 ，因为山坳处有一个憩息点 ，观测峰顶 仰角为 ，即 ，所以 ，则 ，故 B 正确；对于 C：因为从 点观测峰顶 的仰
7、角为 ，则 ，第 9页/共 23页所以 ，则 ，故 C 错误；对于 D：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以从 点观测点 的仰角为 ，则 ，故 D 正确.故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12. 已知 ， 为平面中的单位向量，满足 ，若 ， ，且 ，则实数_【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为 ，且 ， ，所以 ，第 10页/共 23页即 ，所以 ，解得 .故答案为： .13. 已知复数 的实部为 1，且 ，若 是关于 的方程 ， 的根，则_【答案】【解析】【分析】设 ，根据向量的模求出 ，即可得到 ，再由韦达定理计算可得.【详解】设 ，则 ，解得 ，所以 或 ，因为 是关于 的方程 ， 的根，所以 ，所以 ，所以 .故答案为：14. 已知圆台的一个底面面积为 ，且有半径为 的内切球，则该圆台体积为_【答案】 #【解析】【分析】作出圆台的轴截面，依题意可得圆台的高 ，又 ， ，设 ，利用勾股定理求出 ，再由圆台的体积公式计算可得.【
8、详解】因为圆台的一个底面面积为 ，则该底面圆的半径 ，不妨令其为上底面，如图为该几何体的轴截面，其中圆 为等腰梯形 的内切圆，第 11页/共 23页设圆 与梯形的腰相切于点 ，与上、下底分别切于点 ， ，球的半径 ，则圆台的高 ，又 ， ， ，设 ，则 ，所以 ，解得 ，所以圆台的体积 .故答案为：四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ；（2）若 ，求 面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出【小问 1 详解】因为 ，所以 ，解得： 【小问 2 详解】由正弦定理可得第 12页/共 23页，变形可得： ，即 ，而 ，所以 ，又 ，所以 ，故 的面积为 16. 已知长方体 中 ， ，其外接球的表面积为 ，平面 截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，其体积为 （1）证明：平面 平面 ；（2）求棱 的长；（3）求几何体 的表面积【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得到 、 ，即可得证；（2）设 ， ， ，根据外接球的表面积及棱柱、棱锥的体积公式得到方程组，解得即可；（3）根据表面积公式计算可得.第 13页/共 23页【小问 1 详解】根据长方体的性质可知 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 且 ， 且 ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 ；小问 2 详解】设 ， ， ，又 （ 为长方体外接球半径），又外接球的表面积为 ，即 ，所以 ， ；又 ， ；由
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