1、上海市普陀区2024-2025学年高三下学期质量调研数学试题考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时问120分钟.2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】因为,所以原不等式的解集为：.故答案为：2. 已知复数，其中i为虚数单位，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求解即可.【详解】因为，.故答案为：3. 已知事件与事件相互独立，若，则_.【答案】#【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可.【详解】由独立事件性质，,故答案为：4. 设，是等差数列的前项和，若，则的值为_.【答案】#【解析】【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直
2、接求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，.所以，所以：.故答案为：5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为_.【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解.【详解】拋物线的准线为，由点到轴的距离为3，得点的纵坐标，由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而，所以.故答案为：96. 设，若的展开式中项的系数为10，则_.【答案】2【解析】【分析】根据二项式定理求项的系数即可.【详解】项为，由.故答案为：27. 在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则_.【答案】#【解析】【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得.【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合），共有种；而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种，由条件概率公式.故答案为：8. 若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为_.【答案】【解析】【分析】根据圆
3、锥的侧面积公式，扇形的弧长公式求解即可,【详解】设底面半径为，母线长为l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圆周长，扇形中心角，故答案为：9. 设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是_.【答案】【解析】【分析】由题意分析出区间至少包含一个完整的周期，才能保证能取到时的所有函数值，再利用周期的公式求出的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果.【详解】因为函数，要使，则周期，即，因为，所以一个充分条件是，故答案为：10. 设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则_.【答案】19【解析】【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案.【详解】当时，若为二元集：如，共有15种，若为三元集：如共有4种，所以总共有：种；故答案为：19.11. 在棱长为4的正方体中，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案.【详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
4、则有又，所以.设，则.因为，代入可得，整理可得，即在以点为球心，为半径的球上.又的面积为，平面到平面的距离为4，所以到平面的最大距离为.体积最大值为.故答案为：.12. 设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据和的符号，将分为三个区间，并得到对应的不同的表达式，当时，无解；当时，有唯一解，通过分离常数得到，借助导数得到在上的值域，即可得到的取值范围；当时，将转化成关于的二次函数在上恰有两解的问题，即可求出的取值范围.【详解】当时，所以，解得，不符合题意，所以在上无解.当时，所以，令，所以，即令，所以，所以，所以在单调递增，所以，即.此时在上有唯一解；当时，因为函数恰有三个零点，所以在上有两解，即在上有两解，即在上有两解.令所以，即解得，综上，所以的取值范围是.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在大题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只
5、有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ）A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差【答案】C【解析】【分析】根据中位数的概念进行判断即可.【详解】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10.故选：C14. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以，异号，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故选：.15. 设，点，是坐标原点，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行
6、判断.【详解】如图：因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：.因为点到直线：的距离为：，所以直线与圆相切.又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点，所以直线的斜率为：.又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：.又.即.故选：D16. 设，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：若，则数列不是数列的“数列”；若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（ ）A. 为真为真B. 为真为假C. 为假为真D. 为假为假【答案】A【解析】【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再结合“数列”的概念判断的真假即可.【详解】对数列：得：，所以是以3为公比的等比数列，令，对：若，.因为，且为整数，其余.以为例，.若，则，这与矛盾所以不能恒成立.故为真.对：以为例：设，令，则方程的解有，5个满足.即时，数列的“数列”有5个.当时，令，则方程满足的解的个数更多.即时，数列的“数列”多于5个.依次类推：当数列至少5个，故为真.故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
7、的规定区域内写出必要的步骤.17. 如图，在三棱柱中，且. （1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连结，结合已知证明为菱形，以及.进而即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，进而得出相关点以及向量的坐标，然后求出平面的法向量以及，然后根据向量法求解即可得出答案.【小问1详解】连结，连结CO在中，故是等边三角形，所以为菱形，所以，且是的中点.因为，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量，则有，即.令，可得平面的一个法向量为，所以，直线与平面所成的角的正弦值为.18. 设，函数的表达式为.（1）若，设的内角的对边分别为，且，求的面积.（2）对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间.【答案】（1） （2）函数在单调递减，在单调递增【解析】【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解；（2）由已知可得，又函
8、数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可.【小问1详解】因为，所以，所以，解得或，所以或，若，则，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；【小问2详解】由，得，所以，令，因为，所以，又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以，所以，则，此时，符合题意，所以，令，所以，当时，因为， 所以在单调递减，在单调递增.19. 某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关综合拓展创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.（1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人选题来自层的概率；（2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可.（2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可.【小问1详解】因为三层题量之比为，所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为，设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为，由题意得，而二项分布概率公式为，则至少2人的选题来自层的概率为，故.【小问2详解】因三层题量之比为，所以在层最多抽到7道，且可取，则，其分布列为所以期望.20. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点.
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