1、西城区高三统一测试试卷数学2025.4本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，那么集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.【详解】因为，所以，.故选：A.2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误；B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确；D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误.故选：C.3. 在的展开式中，的系数等于（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】D【解析】【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数.【详解】由题设，二项式展开式通
2、项为，令，则，即的系数等于24.故选：D4. 在长方形中，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则，分析可知，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】设，则，如下图所示：因为，所以，所以，故，因此，.故选：B.5. 在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、圆心三点共线，结合可求得的值.【详解】如下图所示：点关于轴的对称点为，由对称性可知，点、圆心三点共线，则，即，解得.故选：A.6. 设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的判定、性质及充分、必要条件的定义判断即可.【详解】已知直线平面，平面平面直线，若，由平面，则；若，此时得不到，直线可能与平面相交，如下图：所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知函数若，则（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简
3、函数的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解.【详解】因为，则该函数的最小正周期为，由可得，所以，函数的对称轴方程为，因为，则或，故选：B.8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：故选C.考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ）A. 44B. 48C. 72D. 76【答案】B【解析】【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解.【详解】设点，正六边形的边长为4，所以，
4、所以，所以，设点到原点的距离为，则的最大值为，由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取，所以，即的最大值为48.故选：.10. 设等比数列的前项和为，前项的乘积为若，则（ ）A. 无最小值，无最大值B. 有最小值，无最大值C. 无最小值，有最大值D. 有最小值，有最大值【答案】D【解析】【分析】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值.【详解】由已知，是等比数列，即，可得，若，则，可计算当时，结合，可得即为的最小值，同理，当，当，可知的最小值为，综上可得，有最小值.由可得，根据等比数列的性质，必有满足对于所有，因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值.综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设为虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可.【详解】.故答案为：.12. 设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到的距离为_【答案】3【解析】【分析】先求出，然后得出抛物线准线方
5、程，即可得出答案.【详解】由题可得，所以，所以准线，所以上一点到的距离为，故答案为：3.13. 设平面向量，且，则使得向量与共线的一组值_，_【答案】 . （答案不唯一，填也对） . （答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填）【解析】【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求，的关系，由此可得结论.【详解】因为，所以，即，因为，所以，又向量与共线，所以，所以，所以，所以或，所以或，故答案：；（答；也对）14. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为_，内含食物的体积为_（粽叶的厚度忽略不计）【答案】 . . 【解析】【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解.【详解】,所以为锐角，所以，该四角粽的表面积，取中点为，连接，则,所以,即，且，平面，所以平面，内含食物的体积为.故答案为：；.15. 记表示不超过实数最大整数设函数
6、，有以下四个结论：函数为单调函数；对于任意的，或；集合（为常数）中有且仅有一个元素；满足的点构成的区域的面积为8其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】利用定义法证明单调性；分和两种情况讨论；求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集；令，其中，将问题转化为，找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积.【详解】，且，则，则，即，则在上单调递增，故正确；当，时，故当时，有，此时，当时，此时，故正确；当时，当时，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故错误；设，其中，则，因，则，则，在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1，由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8.故答案为：三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在多面体中，平面，平面平面，于点 （1）求证：；（2）设，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证平面，再利用线面平行的性质定理即可；（2
7、）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求，最后利用线面角与向量夹角之间的关系求即可.【小问1详解】如图，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以， 【小问2详解】在平面内过点作因为平面，所以平面，因平面，平面，所以，因平面，平面，则平面平面，又因为，平面平面，则平面，所以，两两互相垂直以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，由题意，得，设平面的法向量为，则，即，令，则，于是，所以，故直线与平面所成角的正弦值为17. 在中，（1）求的值；（2）若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高条件：；条件：；条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1） （2）条件选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；（2）对于条件，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件，不符合要求；选择条件，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求
8、出边上的高；选择条件；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可；【小问1详解】由正弦定理，且，得，即由，得所以由，得，所以【小问2详解】选择条件：因为，且余弦函数在上单调递减，故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故不成立.选择条件：由，且，得由余弦定理，得，解得或（舍）设边上高为，则三角形面积，所以选择条件：由，且，得由，且，得所以由正弦定理，得，所以边上的高18. 发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路为调查研究，某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为（1）从年至年这年中随机抽取年，求该年值超过的概率；（2）现从年至年这年中依次随机抽取，每次抽取个年份，若该年的值超过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到值超过的年份记抽取的次数为，求的分布列和数学期望；（3）记年至年这年新能源汽车销量数据的方差为，且这年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系（结论不要求证明）【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）【解析】【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论；（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可.【小问1详解】设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件，由图表知，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年
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