1、黄浦区2025年高考模拟考数学试卷（完卷时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共21道试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分其中第16题每题满分4分，第712题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】解分式不等式即可得解.【详解】不等式化为，解得，所以不等式的解集是.故答案为：2. 设，集合，若，则_【答案】2【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由，且，所以.故答案为：2.3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为_【答案】#0.25【解析】【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解.【详解】抛物线的焦点为，顶点为，所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为.故答案为：4. 在ABC中，若，则_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理得到方程，求出答案.【详解】由正弦定理得，故，即，解得.故答案为：5. 为虚数单位，若复数满足且，则_【答案】【解析】【分析】设出
2、复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解.【详解】设，则，由，得，解得，即，由，得，所以.故答案为：6. 函数f(x)的最大值是_.【答案】【解析】详解】由.7. 已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，则该数列的公比为_【答案】【解析】【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案.【详解】设等比数列公比为，由，则，解得，由，则，代入上式可得，去分母可得，易知，可得，分解因式可得，易知，解得或，当时，则，单调递减，不合题意.故答案为：.8. 已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为_【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1，由两圆有公共点，得，当且仅当时取等号，当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点，所以当取到最小值时，的值为1.故答案为：19. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、为该正方体的顶点，、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为_米（结
3、果精确到0.01米） 【答案】【解析】【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案.【详解】解：由正方体的棱长米，因为平面平面，且平面，平面，平面，如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面，在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米，又由勾股定理，可得米，设米，因为点到平面的距离为2米，所以米.故答案为：. 10. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为_【答案】#0.4【解析】【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率.【详解】因为，所以的正约数为共15个数，其中完全平方数有共6个数，所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为.故答案为：.11. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足正整数_【答案】15【解析】【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值.【详解】由，可得或，当，可得，所以，所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正，又，所以，所以；当，可得，所以，所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负，又，
4、所以，所以；综上所述：.故答案为：.12. 设、为常数，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据已知讨论、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围.【详解】由，则，又，当，此时无零点，当，此时无零点，当，如下图，此时，而，要使在区间上恰有4个根，则，则. 故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ）A. 两种证券的收益有反向变动的倾向B. 两种证券的收益有同向变动的倾向C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌【答案】B【解析】【分析】根据正相关的定义可得出结论.【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关，那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误.故选：B.14. 如
5、图，在平行六面体中，设，若、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断.【详解】由，、组成空间向量的一个基，得向量、不共面，对于A，在平行六面体中，则与、共面，A不是；对于C，与、共面，C不是；对于D，与、共面，D不是；对于B，由，得，不共面，假设与、共面，则存在，使得，而，则，整理得，从而，此方程组无解，假设不成立，因此与、不共面，可以是.故选：B15. 设，随机变量取值、的概率均为0.25，随机变量取值、的概率也均为0.25，随机变量取值、的概率也均为0.25若记、分别为、的方差，则（ ）A. B. C. D. 与的大小关系与、的取值有关【答案】A【解析】【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答.【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：，即，则同理，则则，因为所以，因为，不能取等号，所以，所以所以.故选：A.16. 给定四面体平面满足：、四个点均不在平面上，也不在的同侧；若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定
6、是此棱的中点或两个三等分点之一设、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分类讨论，确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解.【详解】当平面与四面体的一条棱的中点相交时，不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等，且平面平面，如图（1）所示此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值；不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等，且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时，如图（3）所示，此时点到平面的距离相等，其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值；不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同，且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值；又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧，所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧），所以的所有不同值的个
7、数组成的集合为.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 已知（1）若，求的值；（2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由【答案】（1）； （2）存在实数，使函数是奇函数.【解析】【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.（2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可.【小问1详解】由题意，令，则有，即，得，解得或（舍去），所以，则.【小问2详解】假设存在实数，使函数是奇函数，则时，解得.时，函数，定义域为.设函数.对任意，故函数为奇函数.综上，存在实数，使函数是奇函数.18. 在四面体中，（1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积；（2）若，求二面角的大小【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，结合为正三角形求其面积，若为的中点，再由面面垂直的性质证明平面，且，应用棱锥的体积公式求体积；（2）由题设得二面角的平面角为，再应用余弦定理求二面角大小.【小问1详解】由题设为等腰直角三角形，且，所以，又为正三角
8、形，故，若为的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，故平面，所以是的高，则其体积；【小问2详解】由（1）且，又，则，且，又，所以二面角的平面角为，且.所以二面角大小为.19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球（1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立；（2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小.【解析】分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可.（2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值.【小问1详解】当时，盒中有6个白球，14个黑球，则，所以事件与相互不独立.【小问2详解】从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，设，当时，当时，当时，因此，而，则，所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小.20. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点（1）若，点的坐标为，求点到直线的距离；（2）当时，求满足的点的个数；（3）设直线与的另一个交点为，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）.【解析】【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解.（2）求出以线段为直径圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可.（3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建
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