1、2024学年高三年级第二次质量调研数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果1. 已知集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】根据交集的定义计算.【详解】.故答案为：.2. 不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案.【详解】解： 由分式不等式的解法得原不等式等价于，解不等式得.故不等式的解集为.故答案为：3. 已知向量，若，则_【答案】8【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值.【详解】由题设.故答案为：84. 已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为若，则q的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案.【详解】依题意，即，所以.故答案为：5. 在二项展开式中，常数项的值为_【答案】60【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，解得，所以二项式的展开式中的常数项为.故答案为：60.6. 已知，若，则_【答案】#0.4【解析】【分析】根据已知，应用商数关系
2、及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值.【详解】由，所以，则.故答案为：7. 直线与圆相交所得的弦长为_【答案】【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.【详解】由，即，所以圆心，半径为，所以到的距离，综上，直线与圆的相交弦长为.故答案为：8. 已知复数满足，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可.【详解】设对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数为，对应的复数为，因为，由平行四边形的性质可得：所以故答案为：9. 在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为_.【答案】#0.2【解析】【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个，其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共，故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位
3、数中，其能被3整除的概率为.故答案为：.10. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了_%的学生（精确到0.1%）（参考数据：）【答案】【解析】【分析】根据正态分布的范围求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：11. 某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36立方米的球形景观灯所在球面上考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为_米（精确到0.01米）【答案】【解析】【分析】由题设可得球半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.【详解】若球的半径为，则，可得，又，对于正四棱锥，设底面边长为，高为，则，所以，即，又，则，故，即，纪念碑体积，令，对于，则在上单调递减，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以，故，此时米.故答案为：12. 在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为
4、k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可.【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，；，；，；，.故.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，幂函数在上单调递增，由于，所以，A选项不等式恒成立.B选项，当时，但，B选项不等式不恒成立.C选项，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立.D选项，指数函数在上单调递增，由于，所以，D选项不等式恒成立.故选：B14. 已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（ ）A. 若，则 B. 若与为异面直线，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D【解析】【分析】
5、由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面、平面相交，故A错误.对于B，直线，直线，若与为异面直线，则或平面、平面相交，故B错误.对于C，直线，直线，若，则或平面、平面相交，故C错误.对于D，直线，直线，若，则.故选：D15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数.【详解】由题设，显然，当，则，此时，当，则，此时，所以，整数解有，共5个整数解.故选：C16. 设数列满足，记其前n项和为，前n项积为则下列结论正确的是（ ）A. 数列和数列均不是周期数列B. 数列是周期数列，数列不是周期数列C. 数列不是周期数列，数列是周期数列D. 数列和数列均为周期数列【答案】B【解析】【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性.【详解】令，则数列的一个周期为6，又，则，令，则数列的一个周期为8，又，则，所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一
6、个周期为24，又，所以，故，所以不是周期数列.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. 如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，（1）若AD平面PBC，证明：；（2）在我国古代数学典籍九章算术中，记载了一种特殊的三棱锥鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积【答案】（1）证明见解析； （2）为一个鳖臑，体积为，表面积为.【解析】【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论；（2）根据已知得到，结合题设定义及棱锥体积公式求得.【小问1详解】由题设，则，由PA平面，平面，则，而都在面内，则面，由AD平面PBC，面，面面，所以，则面，面，故.【小问2详解】由PA平面，平面，则，由（1）知，且面，面，则，所以都是直角三角形，且，根据题设定义，为一个鳖臑，体积，表面积.18. 已知函数，其中，a，b为实常数且（1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值；（2）若，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围【答案】（1）； （2）.【解
7、析】【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值；（2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【小问1详解】由题设，所以恒成立，则，又，所以的最小值为4，显然，又，当且仅当时取等号，则，即，所以，经检验满足题设，故；【小问2详解】由题设，即在R上恒成立，令，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，故.19. 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图（1）估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）概率；（3）已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例（精确到0.1%）【答案】（1）平均课外阅读时间小时/月； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据直方图的平均值求法求该校学生的平均课外阅读时间；（2）由直方图估计时间位于区间的频率，即可得概率；（3）根据已知得其他年级学生中喜欢阅读的学生
8、占比为，且其他年级学生占比为，进而求出其他年级学生中喜欢阅读的比例.【小问1详解】由直方图知，平均课外阅读时间为小时/月；【小问2详解】由直方图知，时间位于区间的频率为，所以该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率为.【小问3详解】由题设，初一年级学生中喜欢阅读的学生占比为，所以其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为，故其他年级学生中喜欢阅读的比例.20. 已知椭圆C：F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点（1）求的最小值；（2）当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标；（3）若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围【答案】（1）, （2）, （3）【解析】【小问1详解】由椭圆方程知，所以右焦点，设，则，由代入得：，由于，对称轴，所以，即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点.【小问2详解】由直线的斜率为1且经过，可得直线方程，与椭圆联立方程组，消元得：，解得，则代入得：，所以，则，设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得：，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为，即，解得，根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值，此时方程为，代入直线得，则，由点到直线的距离公式得：，所以面积的最大值为，此时点；【小问3详解】设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得：，由，再由于交点D不在x轴上，即，设交点，则有，代入得：，由于Q关于原点的对称点为点R，所以，则直线方程为，与直线相交得：点纵坐标为，而直线与直线相交得：点纵坐标为，所以可得当且仅当，即时，取到最小值.即的取值范围是21. 已知函数，其中，定义集合对于点，定义集合若对任意，均有，则称点P为平衡点（1）当时，判断点是否为平衡点；（2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点；（3）求所有实数
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