1、2024 学年第二学期衢州五校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用解一元二次不等式求解集，即可求交集.【详解】由 ，所以 ，故选：C.2. “ ”是“ ”成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】“ ”是“ ”成立的充分条件;举反例 推出“ ”是“ ”成立的不必要条件,故选 A.第 1页/共 18页【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件的判断.充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一,要理解好其中的概念.3. 已知函数 的定义域为 ，则实
2、数 的取值范围（ ）A. 或 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】转化为 ，对 恒成立，利用判别式法求解.【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，对 恒成立，当 时， ，符合题意；由 ，得 ，综上：实数 取值范围是 ，故选：B4. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积【详解】在直观图中作 ，垂足分别为 E，F，第 2页/共 18页则确定原平面图形的形状及部分边长：在斜二测画法中，平行于 y 轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的 倍已知直观图是底角为 ，腰和上底均为 的等腰梯形，因为直观图中腰长为 且平行于 y 轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的 倍，即 ；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为 原图如下：将原平面图形上底 ，下底 ，高 代入公式，可得 原平面图形的面积是 故选：A5. 关于函数 ，下列说法
3、不正确的是（ ）A. 周期为 B. 在 上不单调C. 是它的一条对称轴 D. 有一个对称中心【答案】D【解析】【分析】对于 A，由周期公式 可判断正误；对于 B、C、D，有两种方法判断正误，一种是利用的单调区间、对称轴、对称中心，将 看成一个整体，将 反解出来即得 的单调区间、第 3页/共 18页对称轴、对称中心；另一种是从选项入手，由选项条件得到 的范围或值，判断是否是 的单调区间、对称轴、对称中心，由此可判断正误，注意本题是选非题，故选择不正确的选项.【详解】对于 A， 的最小正周期为 ，故 A 正确；对于 B，由 ，得 ，因为 在 上不单调，所以 在 上不单调，故 B 正确；对于 C，当 时， ，因为 是 的一条对称轴，所以 时是 一条对称轴，故 C 正确；对于 D，当 时， ，而 是 的一条对称轴，而非对称中心，故 不是 的一个对称中心，故 D 不正确.故选：D.6. 若 ，且 在 方向上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的概念列式即可求数量积，从而可求夹角大小.【详解】根据 在 方向上的投影向量为 ，可得：，根据
4、 ，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，第 4页/共 18页故选：B.7. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东 的方向上，向正南方向行走 后到达 D 处，测得塔在南偏东 的方向上，处测得塔尖 的仰角为 ，则可得龙洲塔高度为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意得到角度和边 ，则在 中，由正弦定理可求得 ，而塔是垂直于地面的，故在 中，结合仰角和 可算得龙洲塔高度.【详解】由题意可知 ，所以 ，在 中，由正弦定理可得 ，因为 处测得塔尖 仰角为 ，即 ，则在 中，龙洲塔高度为 .故选：C.8. 定义在 上的偶函数 满足：当 时， ，且当 时，则 的零点个数是（ ）A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 无数个【答案】C【解析】【分析】将 的零点转化为 与 图像交点个数，画出图像，看第 5页/共 18页交点即可.【详解】 的零点，则 ，即 的根个数，画出 与 图像，看两个函数图像交点个数即可.当 时， ，画出此部分图像，再根据当 时， ，即表示 x 隔 2 函数值减半，画出 y 轴
5、右侧图像.最后根据偶函数图像性质，得到 y 轴左侧图像.根据图像，知道 的零点个数是 8 个.故选：C.二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得 0 分.9. 下列各组函数的图象，能够通过左右平移实现重合的是（ ）A 与 B. 与C. 与 D. 与【答案】AD【解析】【分析】A 通过诱导公式 即可判断；B 通过两个函数的最低点判断；C 反证法，在一个函数图象上找出两个特殊点通过平移判断能否在另一个图象上；D 通过指数运算和对数性质可得.【详解】因 ，则将 函数图象向左平移 个单位可得 ，故 A 正确；因 ，则其最低点坐标为 ，第 6页/共 18页而 最低点坐标为 ，故无法只通过左右平移实现，故 B 错误；因 图象上存在点 ， 图象上存在 ，若 函数图象可左右平移得到 ，则将 函数图象向右平移 个单位即可得到 ，而 函数图象上的点 向右平移 个单位后得到的点 不在 图象上，故 C 错误；，则将 函数图象上的点向左平移 个单位即可得到 ，故 D 正确.故选：AD10. 在 中，内角 所对
6、的边分别是 ，则下列说法正确的是（ ）A. 若 ，则 的外接圆的面积是B. 若 ，则 是等腰三角形C. 若 ，则 可能等于 10D. 若 ，则 的面积为 或【答案】ACD【解析】【分析】根据正弦定理计算即可判断 A；根据正弦定理和三角恒等变换计算即可判断 B；根据余弦定理和基本不等式计算即可判断 C；根据余弦定理和三角形面积公式计算即可判断 D.【详解】A：由正弦定理得 为 外接圆的半径），得 ，所以该外接圆的面积为 ，故 A 正确；B：由正弦定理得 ，即 ，得 或 ，解得 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；第 7页/共 18页C：由余弦定理得 ，即 ，得 ，当且仅当 时取到“=”，又 ，所以 ，故 C 正确；D：由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 2.当 时， ， ；当 时， ， ，故 D 正确.故选：ACD11. 在 中， 是 中点， 与 BD 交于点 F，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】选定 作为基底，根据图形的几何关系以及向量的线性运算，结合三角形面积公式以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由
7、，则 ，由 是 的中点，则 ，第 8页/共 18页由图可得 ，可得 ，解得 ，则 ，由 ，则 ，故 A 错误；由 ， ，则 ，即 ，由 ，则 ，由图可得 ，则 ，故 B 正确；由 ， ， ，则 ，故 C 正确；由 ， ，则 ，故 D 正确.故选：BCD.非选择题部分三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 已知复数 是方程 的一个根，则复数 的模 的值为_.【答案】【解析】【分析】求出复数 后利用公式可求其模.【详解】 即为 ，故 ，故 ，故答案为：第 9页/共 18页13. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ，记 ，则三角形面积为.已知 中， ，则 的内切圆半径 为_.【答案】【解析】【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径.【详解】根据海伦公式，可知： ，再设内切圆半径为 ，则有 ，故答案为： .14. 在正四面体 ABCD 中， 分别为 的中点， ，截面 EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是_.【答案】【解析】【分析】
8、根据平面的公理，将平面进行延拓，利用分割法，结合棱锥的体积公式，可得答案.【详解】由题意，取 ，使得 ，连接 ，如下图：由 分别为 的中点，则 ， ，由 ，则 ，所以 共面，所以截面 将正四面体 分为多面体 与多面体 ，第 10页/共 18页设正四面体 的棱长为 ，易知高 ，则体积 ，由图可知多面体 可分为四棱锥 与三棱锥 ，在四棱锥 中，由 到底面 的距离为 ，且 ，则 到底面 的距离，即在底面 上的高 ，底面 的面积，所以四棱锥 的体积 ，在三棱锥 中，由 到底面 的距离为 ，且 ，则 到底面 的距离，即底面 上的高 ，易知 为等边三角形且边长为 ，所以三棱锥 的体积 ，故多面体 的体积 ，多面体 的体积 ，所以体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 .故答案为： .四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知圆锥的轴截面是一个边长为 4 的正三角形.（1）求该圆锥的体积与表面积；第 11页/共 18页（2）该圆锥内切球半径为 ，内接正方体棱长为 ，求 的值.【答案】（1） ，（2）【解析】【分析】（1）由题意可得圆锥的几何元素，利用其体积公式以及表面积公式，可得答案；（2）由题意作图，根据锐角三角函数，建立方程，可得答案.【小问 1 详解】由轴截面为 4 的等边三角形，可得底面半径 ，高为 ，母线长 ，于是 ，.【小问 2 详解】如图 1，易知 ，可得在 中， ，解得 ，如图 2，易知 ，可得在 中， ，解得 ，故16. 已知函数 .（1）如果 ，求函数 的最小正周期与增区间；（2）如果 ，当 时，函数 取得最大值，求 的值.第 12页/共 18页【答案】（1） ，增区间为（2）【解析】【分析】（1）应用二倍角公式及辅助角公式化简得出解析式，再根据正弦函数周期及单调性计算求解；（2）应用二倍角公式及辅助角公式化简得出解析式，再根据正弦函数的最值计算得出正切值.【小问 1 详解】当 时，
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