安徽省师范大学附属中学2025届高三下学期4月质量检测数学试题 含解析

1、2025届高三第二学期4月质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因，即，解得，所以，则，故选：C.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可.【详解】因，则，则，.故选：D.3. 设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据商数关系和平方关系求解即可.详解】，所以，解得或（舍），故选：B

2、.4. 若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，即，且在上的投影向量为故选：C5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据对立事件概率公式求出，进一步由条件概率公式即可求解.【详解】因为，所以，.故选：A.6. 已知圆台上、下底面半径分别为，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】利用圆台的体积公式求出，再利用进行消元，得到关于的函数，再利用导函数求其单调性即可求出，的值，最后结合图形求其正切值.【详解】因，则，因，得，令，则，则得；得，则在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，此时，故圆台母线与底面所成角的正切值为.故选：D.7. 已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】已知可将方程转化为，结合的定义可得，即，解不等式，再分别判断个区间内解的情况.【详解】，

3、即，因为，所以可得，解得，当时，满足题意；当时，即，解得，满足题意；当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为，故选：A.8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）A. 96B. 98C. 100D. 102【答案】D【解析】【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可.【详解】当时，设，当时，则，即，所以，时取等，故D错误；若，且，此时；若，且，此时.故A，B，C正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数和，则（ ）A. 和的最小正周期相同B. 和在区间上的单调性相同C. 的图象向右平移个单位长度得到的图象D. 和的图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的单调性，对称性，周期性及函数的平移变换分别判断个选项.【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确；对于B：当时，所以单调递增，当时，所以单调递增，选项B正确；对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误；对于D：，选项D正确.故选：ABD.10. 已知为抛物线：的焦点，

4、为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（ ）A. B. 若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10C. 若，则D. 的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】设出直线的方程，与抛物线联立，消元可表达两根和与积，设出点，表达向量的数量积即可判断选项A；斜率已知，则弦长和中点坐标可表达；圆的方程已知，求弦长可判断B；，则A为P与B的中点，结合抛物线定义可判断C；求角正切值的最值，考虑引入参数，用不等式的方法求解.【详解】设直线：，其中，整理得，则，A正确；直线的斜率为1，则此时，设为中点，又，易知，所以以为直径圆截轴所得弦长为，B错误；过A，分别作的垂线，垂足分别为，因为，则A为P与B的中点，所以，由抛物线的定义可知，C选项正确；设与轴交于点，因为，所以不妨设，所以，当且仅当时取等号，D选项正确.故选：.11. 设，函数，则（ ）A. 有两个极值点B. 若，则当时，C. 若有个零点，则的取值范围是D. 若存在，满足，则【答案】BCD【解析】【分析】利用导数分类求解含参函数的单调性，判断选项A，结合选项A中单调性即可直接判断选项BC，根据等量关系直接求解，即可判断选项

5、D.【详解】对于A选项，当时，单调递增，无极值点；当时，得或，得，则在和上单调递增，在上单调递减，此时有两个极值点，故A选项错误；对于B选项，当，时，由上述知，在上单调递增，在上单调递减，则，故B选项正确；对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，若有个零点，则由单调性可知必然有，解得.而当时，在区间，中分别各有一个零点，故C选项正确；对于D选项，等价于或，故D选项正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为_.【答案】5【解析】【分析】通过题意写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程列出等式求出，写出方程求出焦距即可.【详解】易知，得出和，因为渐近线方程为，故，解得，所以，所以的焦距为.故答案为：5.13. 设函数，若曲线与恰有个公共点，则_.【答案】1【解析】【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性及交点个数可知，解方程，分别验证即可.【详解】易知与均为偶函数，若曲线与恰有个公共点，则，所以，解得，当时，值域为，由，所以此时两函数只有一个交点，不符题意；当时，当时，设，则，记则恒成立，所以在上单调递增，

6、又，所以存在，使，且当时，单调递减，当时，单调递增，即存在，使，又，所以函数在有一个零点，即曲线与在有一个公共点，综上所述曲线与共有个公共点，符合题意，故答案为：.14. 已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正三棱锥外接球半径，结合“正三棱锥体积正三棱锥表面积正三棱锥内切球半径”，可求内切球半径的表达式，再结合三角换元的方法可求内切球半径的最大值.【详解】设正三棱锥的底面边长，到平面的距离为，所以，所以，所以，不妨设，所以，所以，设，所以，所以内切球半径的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：样本号123456789均值身高165157156173163159177161165164体重53464856574960455452（1）若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度

7、相关，说明理由（精确到0.01）；（2）建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）.参考数据：，.参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）相关，理由见解析 （2），身高为的某同学，体重大概为【解析】【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断；（2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果.【小问1详解】.因为（或），所以，即身高与体重间是高度相关的；【小问2详解】因为，所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，.即某同学身高为时，体重大概为.16. 设函数.（1）若是增函数，求的取值范围；（2）若，为的两个极值点，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求导后根据增函数列出不等式求解即得；（2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，化简并代入即可求得的取值范围.【小问1详解】由，求导得，若是增函数，即，所以恒成立，因为，则有，解得，即的取值范围是；【小问2详解】由（1）可知，若有两个极值点，则，根据韦达定理得出，所以，因为，所以，所以的取

8、值范围是.17. 如图，在正四棱锥中，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）连接，可得，证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明；（2）以，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，妨设，求出平面的一个法向量和的坐标，利用夹角公式求解.【小问1详解】连接，设与相交于点，连接.，分别为，的中点，在正四棱锥中，平面，又平面，又底面为正方形，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面.【小问2详解】由（1）以及题意可知，在中，.在中，.又，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.在棱上，不妨设，则，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，则.设与平面所成的角为，则，当且仅当时等号成立.当与平面所成角取得最大值时，.18. 已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，.（1）求的方程；（2）求面积的最大值；（3）过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.【答案】（1） （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，然后表示出三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到结果；（3）根据题意，联立直线与直线，表示出点的横坐标，然后表示出中点横坐标，即可证明.【小问1详解】依题意，所以，因为，所以，所以，所以的方程为；【小问2详解】设直

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