2025年高考第二次模拟考试卷：数学（新八省通用02）（解析版）

1、 2025年高考数学第二次模拟考试高三数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（）ABCD【答案】B【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由集合，又因为，可得.故选：B.2在复平面内，对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.【详解】易知，所以，即对应的点为，位于第四象限.故选：D3已知平面向量与的夹角为，则（）ABC4D12【答案】B【解析】由题得，所以.故选：B.4袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的

2、概率为（）A0.25B0.4C0.5D0.6【答案】B【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球”，由条件概率计算公式求解即可求解.【详解】设第一次取得白球为事件A，第二次取得红球为事件B，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：P(B|A)=P(AB)P(A)=42654565=25=0.4.故选：B.5已知双曲线的两个焦点为，为上一点，则的离心率为ABCD【解析】如图，取线段的中点，连接，因为，所以，且，所以，设，则，所以的离心率故选：6南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个，则第二十层球的个数为（）A210B220C230D240【答案】A【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第20项即可【详解】设第层的小球个数为依次构成数列，由题：从而有规律：所以所以即第20层有210个小球，故选：A7已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】先找和 的外接圆的圆心，

3、过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心，连接AE，EF，设的外心为，因为，即为等边三角形，所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF，则平面平面BCD，因为平面平面BCD，所以，因为为等边三角形，为BC的中点，所以，因为平面平面BCD，平面平面，面，所以平面BCD，则，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四边形OGEF是矩形.由，可得，故，又，设球的半径为，则，所以球的表面积.故选：C. 8已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，则（）ABC254D2025【答案】B【解析】由是偶函数推出的性质，因为是定义域为的偶函数，所以，即，对于任意都成立，那么.用代替，可得，即.又因为，则关于直线对称，所以.由和可得，再用代替，得到，即，而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，.因为的图象关于直线对称，所以，.，.则. 因为，其中是余数.所以. ，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下列函数既

4、是奇函数，又是增函数的是（）ABCD【答案】AD【解析】对A函数为奇函数.且当时，单调递增；根据奇函数的性质，在上也单调递增，fx在R上为增函数，故A正确；对B函数的定义域为函数为非奇非偶函数，故B错误；对C函数不是奇函数，故C错误；对D为奇函数，且均随的增大而增大，即在R上为增函数，故D正确.故选：AD10已知椭圆，A，B为左右两个顶点，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（）AB的范围是C若直线l过点与椭圆交于M，N，则D若，则【答案】ACD【分析】根据斜率公式即可化简求解A；根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B；根据点到直线的距离公式即可求解C；根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D.【详解】对于A，设，则，故A正确，对于B，由于又，即，所以，故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误，对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确，对于D，由余弦定理可得,因此，又，故，故选：ACD11点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ）A当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化B当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是C若F是的中点，当

5、P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为【答案】BC【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、已知线面角求其他量、立体几何中的轨迹问题【分析】A选项，正方形的面积不变，P到平面的距离不变，由体积公式可知，体积为定值；B选项，与所成角即为与所成角，数形结合得到当P在端点A，时，所成角最小，最小角为，当P在中点时，所成角最大为，B正确；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，由可得，所以，当时，等号成立，C正确；D选项，分别考虑点在各个平面内的情况，得到轨迹长度，相加得到答案.【详解】对于A，底面正方形的面积不变，当P在平面上运动时，P到平面的距离不变，即四棱锥的高为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确；对于B，因为，所以与所成角即为与所成角，因为，所以为等边三角形，显然，当P在端点A，时，所成角最小，最小角为，当P在中点时，由三线合一可知，此时所成角最大为，所以与所成角的取值范围是，故B正确；对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的一个法向量为，则，令得，故平面的一个法向量为，因

6、为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，C正确.对于D，因为直线与平面所成的角为，若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置均不合要求，同理，若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置不合要求，若点在平面内，点的轨迹是；若点在平面内，点的轨迹是；若点在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，其弧长为，故的轨迹长度为，故D错误；故选：BC第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12在等比数列中，若，则_.【答案】32【分析】利用等比数列通项公式得，则得到，则.【详解】设公比为，即，即，得，所以.故答案为：32.13设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 .【答案】【分析】根据平均数以及方差的定义，代入公式计算即可得结果.【详解】由题意得，所以数据的方差.故答案为：.14已知若函数有两个零点，则的取值范围为 【答案】【解析】当时，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以时，.当时，则，当时，函数单调递增

7、；当时，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象，如图所示：函数有两个零点等价于的图象有两个交点，由图可知或.所以m的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角B；(2)若为锐角三角形，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以；（2）因为，所以因为D是线段AC的中点，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以, 又为锐角三角形，所以，解得，所以，即，则，所以，即，则BD的长的取值范围是16（15分）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明平面，即可解决问题；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，代入夹角公式即可.【详解】（1）取的中点为，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以，在直角三角形中，为中点，

8、所以，又，所以，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，设平面的法向量为，则，设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为17（15分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.良好以下良好及以上合计男8001100女100合计12001600(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望E.附表及公式：PK2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中K2=nadbc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关(2)分布列见解析，E=1【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出K2的值即可；（2）由条件可得B4,14，然后算出答案即可.【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得：良好以下良好及以上合计男8003001100女400

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