1、2025年高考数学直线与方程一选择题（共10小题）1（2024盐湖区一模）直线与直线相交于点，则的取值范围是ABCD2（2024永寿县校级模拟）已知直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（2024贵州模拟）已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的方程为ABCD4（2024开福区校级模拟）“”是“直线与直线平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（2024重庆模拟）已知，两直线，且，则的最小值为A2B4C8D96（2024海南模拟）已知直线的倾斜角为，则ABCD7（2024江苏模拟）莱莫恩定理指出：过的三个顶点，作它的外接圆的切线，分别和，所在直线交于点，则，三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为ABCD8（2024东湖区校级一模）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为ABCD29（2024威宁县校级模拟）直线和直线，则“”是“”的A必要不充分条件B充分不必要条件C
2、充要条件D既不充分也不必要条件10（2024大通县二模）已知直线与直线平行，则的值为A4BC2或D或4二多选题（共5小题）11（2024浙江一模）已知正方形在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为ABCD12（2024辽宁一模）设直线系（其中，均为参数，则下列命题中是真命题的是A当，时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限C当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为D当，时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则13（2024香河县校级模拟）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为ABCD14（2024回忆版）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则AB点，在上C在第一象限的纵坐标的最大值为1D当点，在上时，15（2024辽宁模拟）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分
3、类效果越好某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将，和为第组点将，和归为第点在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为给出下列四个结论：直线比直线的分类效果好；分类直线的斜率为2；该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第组点位于的同侧；如果从第1组点中去掉点，第组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是其中所有正确结论的序号是ABCD三填空题（共5小题）16（2024九江二模）欧拉于1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线已知，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 17（2024未央区校级模拟）经过点，且在轴和轴上的截距相等的直线方程是 18（2024济南二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 19（2024铜川一模）2023年暑期档动画电影长安三万里重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，
4、艺术性最强的一部分唐代诗人李颀的边塞诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 “将军饮马” 的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 20（2024江苏模拟）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数四解答题（共5小题）21（2024合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点，和，记，称为点与点之间的“距离”，其中，表示，中较大者（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设，是平面中一定点，我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”，求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点，22（2024兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，那么称为，两点间的曼哈顿距离（1）已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离
5、分别为，求和的最小值；（2）已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；（3）已知点，点，是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值23（2024湖北模拟）在平面直角坐标系中，定义，两点间的“直角距离”为（）填空：（直接写出结论）若，则，B）_；到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_；记到，两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线，则曲线所围成的封闭图形的面积的值为_；（）设点，点是直线上的动点，求的最小值及取得最小值时点的坐标；（）对平面上给定的两个不同的点，是否存在点，同时满足下列两个条件：，；，若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由24（2023宝鸡三模）已知点在曲线上（1）求动点的轨迹的参数方程，并化为直角坐标方程；（2）过原点的直线与（1）中的曲线交于，两点，且，求直线的斜率25（2023固镇县三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点（1）求所在直线的一般式方程；（2）当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程2025年高考数学解密之直线与方程参考答案与试题解析一选择题（共10小题）
6、1（2024盐湖区一模）直线与直线相交于点，则的取值范围是ABCD【答案】【考点】直线的斜率【专题】直线与圆；数学运算；转化思想；计算题；综合法【分析】求出直线、所过定点的坐标，分析可知，即，然后求出点的轨迹方程，设，根据直线与曲线有公共点，利用直线与圆的位置关系列出关于的不等式，解之即可得到本题的答案【解答】解：直线的方程可化为，可知直线经过与的交点同理可得直线经过与的交点，因为，所以，即，因为，所以，整理，当，点不在直线上，所以点的轨迹是曲线，设，可得，由题意得直线与曲线有公共点，曲线是圆心为原点，半径为3的圆，所以，解得，当，时，；当，时，所以的取值范围是故选：【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题2（2024永寿县校级模拟）已知直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件【专题】转化思想；综合法；数学运算；直线与圆【分析】时可以推出两条直线平行，两条直线平行时，可得的值，判断出“”是“”的充要条件【解答】解：时，直
7、线，可得两条直线的斜率相同，在轴的截距不同，所以两条直线平行，即此时“”是“”的充分条件；时，则，整理可得，解得，此时”是“”的必要条件，综上所述：“”是“”的充要条件故选：【点评】本题考查充要条件的证法，属于基础题3（2024贵州模拟）已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的方程为ABCD【答案】【考点】直线的点斜式方程【专题】转化思想；逻辑推理；直线与圆；综合法；计算题；数学运算【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程【解答】解：已知直线倾斜角的余弦值为，即，故，所以，由于直线经过点，故直线的方程为，整理得故选：【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题4（2024开福区校级模拟）“”是“直线与直线平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】【考点】充分条件与必要条件；直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据两直线平行时，两直线的方向向量共线，且在轴上的截距不相等，解方程求的值，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：由，且，解得或，故是直线与直线平行充
8、分不必要条件，故选：【点评】本题考查两直线平行的性质，考查充分必要条件，是一道基础题5（2024重庆模拟）已知，两直线，且，则的最小值为A2B4C8D9【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；数据分析【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式的，求得的最小值【解答】解：，两直线，且，即，当且仅当时，等号成立则的最小值为8，故选：【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题6（2024海南模拟）已知直线的倾斜角为，则ABCD【答案】【考点】直线的倾斜角【专题】综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆【分析】根据题意先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式与诱导公式，算出所求式子的值【解答】解：根据题意，直线的斜率，则，解得，或（舍，所以故选：【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题7（2024江苏模拟）莱莫恩定理指出：过的三个顶点，作它的外接圆的切线，分别和，所在直线交于点，则，三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为ABCD【答案】【考点】待定系数法求直线方程【专题】综合法；计算题；直线与圆；数学运算；转化思想【分析】根据题意设，求出的外接圆方程，然后求出过点的切线与直线的交点，以及过点的切线与直线的交点，根据直线方程的两点式，算出的线的方程【解答】解：设，则，可得，所以因此，的外接圆是以为直径的圆，圆心为的中点，半径所以的外接圆方程为，求得直线，与过
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