2024-2025学年湖南省益阳市(AJ)高一年级4月期中联考数学试卷（含答案）

1、2024-2025学年湖南省益阳市(AJ)高一年级4月期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=1+i对应的点关于实轴对称，则z1=()A. 1+iB. 1iC. 1iD. 1+i2.函数f(x)=log2(x21)+1x+2的定义域是()A. (,2)(2,1)(1,+)B. (,2)(2,1)(1,+)C. 2,1)(1,+)D. (2,1)(1,+)3.在ABC中，若AB= 3，C=6，BC= 6，则A=()A. 34B. 43C. 3或23D. 4或344.已知x(0,2)，不等式cosx 22的解集为()A. (34,54)B. (2,34)(54,32)C. 34,54D. (2,3454,32)5.已知a=log0.30.4，b=1.010.1，c=log0.30.5，则a，b，c的大小关系是()A. bacB. acbC. cabD. cba6.已知向量a和b满足|a|= 3，|b|=1，|a+b|= 7，则向量b在向量a上的投影向量为()A. 23aB.

2、12aC. 23aD. 12a7.已知圆O的半径为2，六边形P1P2P3P4P5P6是圆O的内接正六边形，P为圆O上的任意一点，则|PP1|2+|PP2|2+|PP6|2=()A. 48B. 36C. 24D. 528.已知函数f(x)=logaxx+1x,03，x1，x2(0,+)且x1x2，f(x1)f(x2)x2x11x1x21，则实数a的取值范围是()A. 13,1)B. (0,13C. (0,12D. 45,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法中正确的是()A. 设a，b为非零向量，若ab0，则a，b的夹角为锐角B. 设a，b，c为非零向量，则(ab)c=a(bc)C. 设a，b为非零向量，若(a+b)(ab)，则|a|=|b|D. 若点G为ABC的重心，则GA+GB+GC=010.已知实数a，b满足log13(a2)+log3(b2)0，则()A. (12)a(12)bB. 13a113b1C. (ab)(a+b4)0D. 2a2b3a3b11.已知f(x)=12x1+2x，则下列说法正确的是()A.

3、若x1x2，则f(x1)f(x2)B. 若x1+x20C. 若g(x)=|f(x)+12|m有两个零点，则0m12D. 若g(x)的定义域为R，且g(x)+g(x)=2，且y=f(x)+1与y=g(x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，(xm,ym)，则m必为奇数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2x1,x0，则f(f(32)=13.f(x)=cos(x+)(0,00,b0)(1)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形(2)已知a=18，若f(x)3，当且仅当9x18时成立()求实数b的值;()若x1是f(x)的零点，x2=1826x231+26x23，求x1+x2的值19.(本小题17分)对任意的实数x，定义x=xx，其中x表示不超过x的最大整数(1)已知函数f(x)=3x23x+1+1，y=f(x)的值域为集合A，求A的真子集个数(2)已知x1，x2，x3，xn为g(x)=25x+x125的零点，求x1+x2+xn(3)设a1，a2，an是任意给定的n个互不相等的实数.求证：存在某个正整数k(1kn)，使得a1ak+a2ak+a3ak+

4、anakn12.注：1+2+n=n(n+1)2参考答案1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.A8.B9.CD10.ACD11.BD12.1213.4,514.7 101015.解：(1)由题可知|e1|=|e2|=1，e1e2=11cos2=0则ab=e1(me1+e2)=m，又|a|=1，|b|= m2e12+2me1e2+e22= m2+1，所以cos=m m2+1= 22，解得m=1，所以a=e1，b=e1+e2，则由题可知(a+b)(2a+b)012，解得(34,12)(12,+).故的取值范围为(34,12)(12,+).(2)由(1)可知ab=1，|b|= 2则|c|=ab|b|= 22，且=4，则|a+c|2=|a|2+2ac+|c|2=1+1+12=52所以|a+c|= 10216.解：(1)因为向量a=(cos2x,2cosx)，b=(2 3,sinx)，函数f(x)=ab=2 3cos2x+2sinxcosx= 3cos2x+sin2x+ 3 =2sin(2x+3)+ 3 令2+2k2x+332+2k,(kZ)，解得：12+kx712+k,(kZ)，即fx的单调递

5、减区间为12+k,712+k,(kZ)(2)由题可知：g(x)=2sin4x+ 3因为x12,6，所以4x3,23sin4x 32,1，则g(x)=2sin4x+ 30,2+ 3，即g(x)=2sin4x+ 3在12,6上的值域为0,2+ 317.(1)证明：因为a2b2=bc，结合余弦定理，得b2+c22bccosAb2=bc，所以c=b+2bcosA，由正弦定理，得sinC=sinB+2sinBcosA即sinA+B=sinB+2sinBcosA，所以sinAcosB+cosAsinB=sinB+2sinBcosA，所以sinAB=sinB，因为在ABC中，只能有AB=B，所以A=2B(2)由(1)知A=2B，C=AB=3B，则ca+b=sinCsinA+sinB=sin3Bsin2B+sinB=sin2BcosB+cos2BsinB2sinBcosB+sinB=2cos2B+cos2B2cosB+1=2cos2B+2cos2B12cosB+1=2cosB12cosB+12cosB+1=2cosB1由于ABC为锐角三角形，所以A=2B(0,2)C=3B(0,2)所以B(6,4)，所

6、以cosB 22, 32，所以ca+b=2cosB1 21, 3118.解：(1)证明：f(x)=log2xax+bx(0x3当且仅当9x18时成立，当0x9时，f(x)0，2f(x)13，A=2,1,0，即A的真子集个数为231=7个，综上，A的真子集个数为7个(2)由25x+x=125，得24x=25x125又x1xx，得24x2425x12524x，101x125由题意知25x为整数，x只能取0，125，225，2425当x=n25(n=0,1,2,24)时，x=12525x=125n从而x=(125n)+n25，即x只能取值125，124125，1012425125+124125+123225+1012425=(125+124+123+101)+125+225+2425=25(101+125)2+125(1+24)242=2837综上，x1+x2+xn=2837(3)证明：设g(k)=a1ak+a2ak+anak.对任意的正整数i，j(1in,1jn)，当ij时，aiaj+ajai=0或1，即aiaj+ajai1.当i=j时，aiaj+ajai=02(g(1)+g(2)+g(n)=2(a1a1+a2a1+ana1)+2(a1a2+a2a2+ana2+2(a1an+a2an+anan=(a1a2+a2a1+(a1a2+a2a1)+(an1an+anan1)

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