1、2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市高二下学期期中调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向量a=(x,1,2)，b=(1,y,8)，若a/b，则()A. x=14，y=14B. x=14，y=4C. x=14，y=4D. x=14，y=42.从5名教师中挑选2人，分别担任两个班的班主任，有()种不同的安排方案A. 10B. 15C. 20D. 253.盒子中有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，现无放回地依次从中取出一个球.若第一次取出红球记为事件A，第二次取出红球记为事件B，则P(B|A)=()A. 12B. 110C. 310D. 354.设a为实数，如果随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，那么D(X)=()A. 23B. 73C. 49D. 595.a,b,c是空间的一个单位正交基底，a+b，ab，c是空间的另一个基底，向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)，若p=x(a+b)+y(ab)+zc，则实数x，y，z的值分别为()A. 32，12，3B. 32，12，
2、3C. 32，12，3D. 32，12，36.某大学一宿舍4名同学参加研究生招生考试，其中两人顺利被录取，还有两人需要调剂，这两名学生准备分别从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，那么他们各自所选择的三所大学中恰好只有一所大学相同的概率为()A. 320B. 920C. 340D. 9407.已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为线段PC上的点，且PHHC=14，点G在线段AH上，且AGAH=m.若G，B，P，D四点共面，则实数m的值为()A. 23B. 34C. 45D. 568.现有一种检验方法，对患Z疾病的人化验结果90%呈阳性，对未患Z疾病的人化验结果98%呈阴性.称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知某地区Z疾病的患病率为0.005，则这种检验方法在该地区的误诊率为()A. 0.616B. 0.716C. 0.816D. 0.916二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于排列数和组合数，下列结论中正确的有()A. A104=A106B. rCnr=nCn1r1C. Cn+1m+1=Cnm+Cnm1D
3、. nAn1n1=n!10.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的详解九章算法而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1;在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形;随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的有()A. 第35行从左至右的第14个数与第15个数的比为2:3B. 在第2023行中，第1012个数与第1013个数最大C. 从杨辉三角形第21行随机取一个数，该数大于2025的概率为1321D. 记第n+1行的第i个数为ai，则i=1n+12i1ai=3n11.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，点P满足BP=BC+BB1(0,1)，则下列说法正确的有()A. 若PO平面A1BD，则OP= 3B. 若D1P/平面A1BD，则点P的轨迹长度为2 2C. 若+=1，则OP与DC1所成角的余弦值的取值范围是12, 32D. 若=12，01时，直线DP与平面A1BD所成角为，则sin 39, 155三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12
4、.已知的概率分布为1234P16161313设=3+5，则E()=13.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1AB=A1AD=BAD=3，点M是棱C1D1的中点，AB=AD=AA1=2，A1N=A1D1，AMCN=2，则实数的值为14.设Ck1,2,3,4，对于有序数组(C1,C2,C3,C4)，记R(C1,C2,C3,C4)为其中包含的不同整数的个数.如R(1,1,1,1)=1，R(1,2,2,2)=2，R(1,2,2,3)=3，R(1,2,3,4)=4.当(C1,C2,C3,C4)取遍44个有序数组时，R(C1,C2,C3,C4)的总和为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)若(2x1)2025=a0+a1x+a2x2+a3x3+a2025x2025(xR)(1)求a1的值;(2)求(a0+a2+a4+a2024)2(a1+a3+a5+a2025)2的值.(计算结果可保留指数幂的形式)16.(本小题15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB=2，AE=23AP，AF=12AB
5、，AC与DF相交于点O(1)求点B到平面DEF的距离;(2)求直线PC与平面DEF所成角的正弦值17.(本小题15分)某科技展览会上，展示了编号为1至8的8种型号的无人机.学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各一架供学生实验操作(1)A同学从8架无人机中任选两架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，A同学有多少种选择?(2)将买回的8架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，甲组分得1架，乙组分得2架，丙组分得5架.共有多少种分配方法?(3)将买回的8架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，每组至少分得两架，一共有多少种分配方法? (注：要写出算式，结果用数字表示)18.(本小题17分)如图，在四棱锥PABCD中，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD是等腰梯形，且BC/AD，AD=2DC=2CB，ADC=60，PC= 2BC，M为AD中点(1)求证：PM平面ABCD;(2)求直线AB与PD所成角的余弦值;(3)求二面角BPCD的正弦值19.(本小题17分)在一个三角形迷宫中，有9个房间，有公共边的两个房间为相邻房间.探险者每次会等概率地选择一个相邻的房间移动过去.
6、如从AC算一次移动，从ACA算两次移动 (1)探险者从房间C出发，5次移动后在房间I，并且必须经过房间D.求所有可能的移动路径数量;(2)探险者需要将2个宝藏分别放置在不同的房间中，为了确保宝藏安全，要求这2个房间不相邻.求随机选择2个房间放置宝藏时，满足安全条件的概率;(3)探险者从房间C出发，目标是到房间H.用X表示探险者到房间H时移动的次数，求P(X=2026)参考答案1.B2.C3.A4.D5.B6.B7.D8.C9.BD10.ACD11.ABD12.27213.8714.70015.解：(1)a1=C20252024(2)1(1)2024=4050;(2)令x=1，得a0+a1+a2+a3+a2024+a2025=1，令x=1，得a0a1+a2a3+a2024a2025=32025，(a0+a2+a4+a2024)2(a1+a3+a5+a2025)2=(a0+a1+a2+a3+a2024+a2025)(a0a1+a2a3+a2024a2025)=3202516.解：(1)由PA平面ABCD，且AB、AD平面ABCD，得PAAB，PAAD，又底面ABCD为正方形，ABAD，AB
7、、AD、PA两两垂直，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,0)、D(0,2,0)、E(0,0,43)，DE=(0,2,43)，FE=(1,0,43)，BF=(1,0,0)，设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,z)，则mDE=0mFE=02y+43z=0x+43z=0令z=3，x=4，y=2，m=(4,2,3)点B到平面DEF的距离d=|BFm|m|=|4| 16+4+9=4 2929(2)P(0,0,2)，C(2,2,0)，则PC=(2,2,2)，cos=mPC|m|PC|=8+46 16+4+9 4+4+4= 8729，直线PC与平面DEF所成角的正弦值为 872917.解：(1)A同学有C42+C42=12种选择；(2)共有C81C72C55=168种分配方法；(3)将8种零件分给甲乙丙三组，每组至少2种，需要满足a+b+c=8，且a2，b2，c2，所以可能的整数划分为：第一类为224分配方法数为：C82C62C44A22A33=1260，第二类为233分配方法数为：C83C53C22A22A33=1680，根据分类加法计数
8、原理共有：1260+1680=294018.(1)证明：连接PM，CM，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，M为AD中点，设AD=2a，PMAD，PM=12AD=a，等腰梯形ABCD中，AD=2BC，AM/BC，AM=BC，四边形ABCM为平行四边形，CM/AB，CM=AB，CM=a，PMC中，PM2+CM2=PC2，PMCM，又PMAD，ADCM=M，AD，CM平面ABCD，PM平面ABCD；(2)取BC中点N，连接MN，则MNBC，以MN,MD,MP为正交基底建立空间面直角坐标系设AD=2a，则A(0,a,0)，B( 32a,a2,0)，P(0,0,a)，C( 32a,a2,0)，D(0,a,0)，PD=(0,a,a)，AB=( 32a,a2,0)，所以cosAB，PD=ABPD|AB|PD|= 24，故直线AB与PD所成角的余弦值为 24；(3)PB=( 32a,a2,a)，PC=( 32a,a2,a)，PD=(0,a,a)，设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z)，由n1PB=0n1PC=0，得 3a2xa2yaz=0 3a2x+a2yaz=0，取x=2，则y=0z= 3，n1=(2,0, 3)，设平面PCD的一个法向量为n2=(x1,y1,z1)，由n2PD=0n2PC=0，得ay1az1=0 3a2x1+a2y1az1=0,取x1= 3，则y1=3z1=3，n2=( 3,3,3)，cosn1，n2=n1n2|n1|n2=57，二面角BPCD的平面角的正弦值为2 6719.解：(1)探险者从房间C出发，5次移动后到达房间I，且必须经过房间D，可能的移动路径为CACDHI，CBCDHI，CDCDHI，CDHDHI，CDHGHI，CDHIHI，共6种(2)将2个宝藏放置在不同的房间，任取两个房间相邻有9种情况，这两个房间不相邻的概率为19C92=34；(3)设探险者经过n次移动后到达房间H的概率为p
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