1、2024-2025学年湖北省部分高中高二下学期4月期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=e2x，则limx0f(1+x)f(1)x=()A. e2B. e2C. 2e2D. 2e22.5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有()A. 454种B. C52A44种C. A52A44种D. 5445种3.曲线f(x)=(x+1)e2x在x=0处的切线方程为()A. y=3x+1B. y=3x+2C. y=2x+2D. y=3x24.若(1+3x)2025=a0+a1x+a2x2+a2025x2025，则a1+a2+a2025=()A. 420251B. 42025+1C. 42025D. 05.设a0，若x=b为函数f(x)=a(xa)(xb)2的极小值点，则()A. a0bC. aba26.已知函数f(x)=xln(x+1)x，则y=f(x)的图象大致为()A. B. C. D. 7.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，xf(x)+f(
2、x)0，则下列正确的为()A. f(3)3f(1)C. f(3)f(1)38.已知函数f(x)=ln(2x1)ax+a有3个零点，则实数a的取值范围为()A. (1,+)B. (,2)C. (,1)D. (2,+)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的有()A. 若y=2x3+3x2x+1，则y=6x2+6x1B. 若y=cos3，则y=sin3C. 若y=ln(2x+1)，则y=22x+1D. 若y=xex，则y=1xex10.下列说法正确的是()A. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法B. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种C. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种D. 2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)=0，且当x0时，f(x)=2exxa.若f(k(a+cosx)+f(cosx)0在R上恒成立，则k的可能取值为()A. 1B. 0
3、C. 1D. 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ax3bx2在点(1,f(1)处的切线方程为y=4x3，则a+b=13.已知(x+y)2m，(x+y)2m+1的二项式系数的最大值分别为a，b，若11a=6b，则正整数m=14.已知a1，若对于x13,+)，不等式13xx+ln3x1aex+lna恒成立，则a的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：(1)恰好取到2个红球的概率;(2)至少取到1个红球的概率16.(本小题15分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+1)x(aR)，且f(1)=1(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间17.(本小题15分)在(3x+2x2)10的展开式中，(1)求有理项的个数;(2)系数最大的项是第几项?18.(本小题17分)已知函数f(x)=axlnx.(1)当a=2时，求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若对x1,e，都有f(x)12恒成立，求a的取值范围
4、;(3)已知a=1，若存在0x1219.(本小题17分)已知函数f(x)=2x23sin(x+)，其中|2(1)若f(x)是偶函数，求;(2)当=0时，讨论函数f(x)在0,+)上的零点个数;(3)若对x0，f(x)0，求的取值范围(注：记sin=13，(0,2)，可用含的表达式表示)参考答案1.C2.B3.A4.A5.D6.C7.D8.B9.ACD10.AD11.CD12.313.514.3e,+15.解：(1)袋中装有3个红球、2个白球、1个黑球，现从中任取3个球恰好取到2个红球的概率为：C32C31C63=920(2)至少有一个红球的方法种数为：1C33C63=1120=192016.(1)对f(x)=lnx+ax2+(a+1)x求导，得f(x)=1x+2ax+(a+1)，将x=1代入f(x)，由f(1)=1，有：1+2a+(a+1)=1化简得3a+2=1，解得a=1，将a=1代入f(x)，得f(x)=lnxx2；(2)f(x)=lnxx2的定义域为(0,+)，求导得f(x)=1x2x=12x2x，令f(x)=0，即12x2=0(x0)，解得x= 22，当0x0，f(x)0，f(
5、x)在(0, 22)上单调递增;当x 22时，12x20，f(x)0，两边同时除以x，得到alnx+12x在1,e上恒成立，令g(x)=lnx+12x，x1,e，对g(x)求导：得g(x)=1xx(lnx+12)1x2=1lnx12x2=12lnxx2令g(x)=0，即12lnxx2=0，则12lnx=0，解得x= e，当x1, e)时，g(x)0，g(x)单调递增;当x( e,e时，g(x)0，g(x)单调递减，g(1)=ln1+121=12，g(e)=lne+12e=1+12e=32e，比较g(1)和g(e)的大小：12=e2e，因为e3，所以e2e32e，即g(x)min=g(1)=12，所以a12，即a的取值范围是(,12。(3)当a=1时，f(x)=xlnx，f(x)=11x=x1x，由f(x)可知，f(x)在(0,1)上f(x)0，f(x)单调递增因为0x1x2且f(x1)=f(x2)，不妨设0x112，即证x22x1，因为2x11，且f(x)在(1,+)单调递增，所以只需证f(x2)f(2x1)，又因为f(x1)=f(x2)，所以只需证f(x1)f(2x1)，令(x)=f
6、(x)f(2x)=xlnx(2x)+ln(2x)=2x2lnx+ln(2x)，0x1，(x)=21x12x=2(x1)2x(2x)，因为0x1，所以(x)(1)=212ln1+ln(21)=0，即f(x)f(2x)在(0,1)上成立，所以f(x1)f(2x1)，从而x1+x22得证19.解：(1)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(x)对xR恒成立，即2x23sinx+=2x23sinx+对xR恒成立，即sinx+=sinx对xR恒成立，即2sinxcos=0对xR恒成立，因此cos=0，解得=k+2(kZ)，而|2，所以=2(2)因为=0，所以fx=2x23sinx，因此函数f(x)在0,+)上的零点个数等于函数y=2x2与函数y=3sinx图象在0,+)上的交点个数作函数y=2x2与函数y=3sinx图象在0,+)上的图象如下：由图象知：函数y=2x2与函数y=3sinx图象在0,+)上的交点数为2，因此函数f(x)在0,+)上的零点个数为2(3)因为fx=2x23sinx+，所以fx=4x3cosx+令Fx=fx=4x3cosx+，则Fx=4+3sinx+0，因此函数fx是增函数因为|2，所以f0=3cos0当f0=3cos=0时，=k+2(kZ)，而|2，因此=2，所以：当=2时，fx=2x23cosx，因此由f0=30恒成立，所以=2为所求当(2,2)时，则f0=3cos0，而函数fx是增函数，所以存在唯一x0(0,4)，使得fx0=4x03cosx0+=0，因此当x0,x0时，fx0，所以函数fx在0,x0上单调递减，在x0,+上单调递增，因此函数fx的最小值为fx0=2x023sinx0+=383sin2x0+8sinx0+3，所以要x0，f(x)0成立，则3sin2x0+8sinx0+30对x0(0,4)恒成立，即3sin2x0+8sinx0+30对x0(0,4)恒成立，解得3sinx0+13，即sinx0+13对x0(0,4)恒成立因为x0(0,4)，(2,2)，所以x0+(2,34)因为sin=1312，(0,2)，所以(0,6)，因此由sinx0+13和x0+(2,34)得2x0+，所以sinx0+13对x0(0,4)恒成立等价于：2x0+对x0(0,4)恒成立，因
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