1、2024-2025学年安徽省芜湖市高二下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.春暖花开正是研学好季节，某校3个班准备从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是()A. C53B. A53C. 35D. 532.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnTn=3n+4n+2，则2a6b2+b10=()A. 11113B. 3713C. 11126D. 37263.甲、乙、丙等5人站成一排，要求甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()A. 16种B. 20种C. 8种D. 12种4.在等比数列an中，a1,a5是函数f(x)=x210x+tln(3x)的两个极值点，若a2a4=2 2a32，则t的值为( )A. 4B. 5C. 4D. 55.记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=5，S6=21S2，则S8=( )A. 120B. 85C. 120D. 856.已知数列an的前n项和Sn=pn2+qn+r(p、q、r为常数)，则“an为递增的等差数列”是“p0”的()A. 充分不必要
2、条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设a=0.1e0.1，b=19，c=ln0.9，则()A. abcB. cbaC. cabD. ac0，e2x1ln x0恒成立，则正数的取值范围是()A. 1eB. 12eC. 2eD. e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S20230，则下列结论正确的有()A. an是递减数列B. a10120C. a1013a1012D. SnS101210.设函数fx=x33ax+3，则()A. 存在aR，函数fx仅有一个极值点B. 曲线fx关于点0,3对称C. 当a=1时，9xy13=0是曲线fx的切线方程D. 当a1时，函数fx有唯一零点11.如图，曲线y2=2xy0上的点Ai与x轴非负半轴上的点Bi1，Bii=1,2,n构成一系列正三角形，记为B0A1B1，B1A2B2，Bn1AnBn(B0为坐标原点).设Bn1AnBn的边长为an，点Bnbn,0，Bn1AnBn的面积为SnnN，则下列说法中正确的是() A. 数列an的通项公式an=4
3、3nB. 数列bn的通项公式bn=23n2+2n1C. S1+S2+S3+S13=364 3D. 1S1+1S2+1Sn5 34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种13.已知等比数列an的前n项和Sn=3n+1+2a，则a=14.已知函数f(x)=exex2sinx+1，不等式f2023ax2ex+f(2lnx+x)2对任意的x(0,+)恒成立，则a的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)已知C6m=C63m2(m1)，计算：C6m+C6m+1+C7m+2+C8m+3；(2)解方程：3Cx3x7=5Ax4216.(本小题15分)设Sn为数列an的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan(1)求an的通项公式；(2)求数列an+12n的前n项和Tn17.(本小题15分)已知函数f(x)=exaxa3(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)
4、若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围18.(本小题17分)汉诺塔(Hanoi)游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆(编号ABC)，在A杆自下而上由大到小按顺序放置若干个金盘(如下图).游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于ABC任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为an(1)求a2，a3，a4；(2)写出an与an1的关系，并求出an(3)求证：a1+1a1a2+a2+1a2a3+an+1anan+1119.(本小题17分)已知函数fx=lnx+2kx(1)若k=3，求函数fx的最大值；(2)若函数fx有两个不同的零点m，nmn()求实数k的取值范围；()若不等式a+17，所以(x3)(x6)=40，解得x1=11，x2=2(舍去)，所以原方程的解为x=1116.【答案】解：(1)因为2Sn=nan，当n=1时，2a1=a1，即a1=0；当n=3时，21+a3=3a3，即a3=2，当n2时，
5、2Sn1=n1an1，所以2SnSn1=nann1an1=2an，化简得：n2an=n1an1，当n3时，ann1=an1n2=a32=1，即an=n1，当n=1,2时都满足上式，所以an=n1nN(2)因为an+12n=n2n，所以Tn=1121+2122+3123+n12n，12Tn=1122+2123+(n1)12n+n12n+1，两式相减得，12Tn=121+122+123+12nn12n+1=12112n112n12n+1，=11+n212n，即Tn=22+n12n，nN17.【答案】解：(1)当a=1时，fx=exx1，则f(x)=ex1，则f(1)=e1，f(1)=e2，故曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程ye+2=e1x1，即为y=e1x1;(2)f(x)=exa，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)无极值;当a0时，当xlna时，f(x)0，此时f(x)单调递增；当xlna时，f(x)0，此时f(x)单调递减，故f(x)在x=lna处取极小值，则f(lna)=aalnaa30，令g(a)=a2+lna1，则g(a)=2a+1a0恒成立，故g(a)在(0,+
6、)上单调递增，又g(1)=0，由g(a)0，得a1，故a的取值范围是(1,+)18.【答案】解：(1)当n=1时，金盘从A杆移到C杆需要的最少移动次数为1次，即a1=1；当n=2时，将第一层(自上而下)金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为1次，将第二层(自上而下)金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为1次，所以a2=3；当n=3时，将第一层、第二层(自上而下)金盘从A杆移到B杆需要的最少次数为a2=3次，将第三层(自上而下)金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为a2=3次，所以a3=2a2+1=23+1=7；同理可得a4=2a3+1=27+1=15(2)依此类推：an=2an1+1(n2,nN)an=2an1+1n2,nN即an+1=2an1+1n2,nN，由于a1+1=1+1=2，所以an1+10n2,nN，所以an+1an1+1=2n2,nN即数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=22n1=2n，即an=2n1(3)证明：记Sn=a1+1a1a2+a2
7、+1a2a3+an+1anan+1，由(2)知数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，即an=2n1，所以an+1anan+1=2n(2n1)(2n+11)=(2n+11)(2n1)(2n1)(2n+11)=12n112n+11所以Sn=12111221+12211231+12n112n+11=121112n+11=112n+11，所以Sn0得0x1，由fx=1x11，所以fx在0,1上单调递增，在1,+上单调递减，则fxmax=f1=1(2)()令fx=lnx+2kxx0，则fx=1x+2k当k2时，fx=1x+2k0，fx单调递增，所以f(x)在0,+上至多有一个零点，不符合题意；当k2时，fx=1x+2k在0,+上单调递减，令fx=1x+2k=0，得x=1k2当0x0，fx单调递增；当x1k2时，fx0且趋向于0时，fx；当x+时，fx，因为fx有两个不同的零点，所以fxmax=lnk210，解得2k2+1e所以k的取值范围是2,2+1e(ii)lnm+m2k=0lnn+n2k=0,k2=lnmlnnmn,由a+1lnm+alnn得a+1k2m+ak2n=k2m+an，即a+1lnmlnnmnm+an=lnmnmn1mn+a，令x=mn0,1，则只需a+10，x0,1令gx=a+1x1x+alnx，则gx=alnxax，令x=gx，则x=axx2因为x0,1，当a0时，x1=0，从而gx单调递增，故gxg1=0，不符合要求；当0a1=0，从而gx单调递增，故gxg1=0，不符合要求当a
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