1、2024-2025学年江苏省淮安市十校联盟高一下4月期中学情调查测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=2+ia+i的实部与虚部相等，则实数a的值为()A. 3B. 1C. 1D. 32.已知平面向量a=(2,3),b=(4,0)，则a在b上的投影向量为()A. 8B. (8,0)C. (2,0)D. (4,0)3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC,A1B的中点，异面直线MN与DD1所成角为() A. 6B. 4C. 3D. 5124.|a|=4，b=2，2a3b=2 13，则向量a与b的夹角为()A. 3B. 6C. 23D. 565.已知cos2=sin21，为第一象限角.则sin2=()A. 2 23B. 2 23C. 13D. 136.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，CAB=120 ，则(AB+AC)AB=()A. 12B. 12C. 10D. 107.若sin()+cos()=2 2sin(4)sin，则()A. tan()=1B. tan()=1C. tan(+
2、)=1D. tan(+)=18.已知ABC是以C为直角的直角三角形ADC和BCE是以AC、BC为边长的等边三角形，SADCSBCE=169，sinFAB=5665，sinAFG=513，则cosFGC=()A. 25169B. 144169C. 119169D. 120169二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，O为B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A. A,M,O三点共线B. A,M,O,A1四点共面C. A,O,C,M四点共面D. B,B1,O,M四点共面10.如图，在ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=45，cosACB=513，BC=13.则下列说法正确的有()A. cosB=1665B. CD=9 2C. BD=4D. SABC=2011.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP= 2，弦AC，BD
3、均过点P，则下列说法正确的是()A. PAPC为定值B. 当ACBD时，ABCD为定值C. 当ABC=3时，ABC面积的最大值为 32D. OAOC的取值范围是4,0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图是梯形ABCD按照斜二测画出的直观图ABCD，其中AD=2，BC=4，AB=1，则原梯形ABCD的面积为13.在ABC中，a2=b2+c2 3bc，且a= 2，则ABC外接圆半径为_.14.天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度.如图，将地球看成一个球O，半径为R，两个观察者在地球上A，B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和(MA,MB表示当地的地平线)，由平面几何相关知识，MAB=MBA=12AOB，MAOA，MBOB，设AB的长度为R2，=12，=6，则流星高度为.(流星高度为SO减去地球半径，结果用R表示)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)欧拉(17071783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式ei=cos+isin，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就
4、得到了欧拉恒等式ei+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数e，圆周率，两个单位虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：ei=cos+isin，解决以下问题：(1)将复数e4i+ei写成a+bi(a,bR,i为虚数单位)的形式;(2)求|eiei|(R)的最大值16.(本小题15分)如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD/BC，BAD=2，BDA=3，BC=BD(1)求AEBD；(2)求AC与BD夹角的余弦值17.(本小题15分)已知sin2=45，(0,4)，sin(4)=35，(4,2).(1)求sin和cos的值；(2)求tan(+2)的值18.(本小题17分)已知a=(3sinx,cosx)，b=(cosx, 3cosx)，f(x)=ab，a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，且f(A2+3)=0(1)若a=3，c=2b，判断ABC的形状(2)若a= 3，求ABC的面积最大值19.(本小题17分)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边
5、，且bsinA+ 3acosB=2a(1)求角B的值；(2)若b= 3，且ABC的面积为3 32，求sinA+sinC的值；(3)如图，若点P在ABC内部，满足APB=BPC=CPA=23，且ABC的面积为2 3，设PBA=，求PB2PAPC的值参考答案1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.C9.ABC10.AB11.ABD12.613. 214.( 4+ 31)R15.解：(1)e4i+ei=cos4+isin4+(cos+isin)=( 221)+ 22i；(2)|eiei|=|cos+isin(cos+isin)|=|(1cos)isin|= (1+cos)2+sin2= 2+2cos，当cos=1，即=2k，kZ时，|eiei|(R)的最大值为216.解：(1)由题意建立如图所示的平面直角坐标系，设AD=1，又在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD/BC，BAD=2，BDA=3，BC=BD，则A(0,0)，D(1,0)，B(0, 3)，C(2, 3)，E(32, 32)，则AEBD=(32, 32)(1, 3)=321+ 32( 3)=0；(2)由(1)可得AC=(2,
6、 3)，BD=(1, 3)，则ACBD=21+ 3( 3)=1，|AC|= 7，|BD|=2，则AC与BD夹角的余弦值为ACBD|AC|BD|=12 7= 71417.解：(1)(0,4)，2(0,2)，又sin2=45，cos2= 1sin22=35，由cos2=12sin2，得sin= 1cos22= 55，cos= 1sin2=2 55；(2)由(4,2)，得4(0,4)，又sin(4)=35，cos(4)=45，sin=sin(4)+4=sin(4)cos4+cos(4)sin4=(35+45) 22=7 210则cos= 1sin2= 210sin2=2sincos=725，2(2,)，则cos2=2425，tan2=724由(1)知，tan=12，tan(+2)=tan+tan21tantan2=127241+12724=21118.解：(1)依题意f(x)=3sinxcosx+ 3cos2x=32sin2x+ 31+cos2x2= 3sin(2x+6)+ 32，又因为f(A2+3)= 3sin(A+56)+ 32=0，所以sin(A+56)=12;A(0,)，A+56(5
7、6,116)，A+56=76A=3，在ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，将a=3，c=2b代入得：9=b2+4b22b2，解得b= 3,c=2 3，此时a2+b2=c2，故a=3，c=2b时ABC为直角三角形；(2)由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，bc+3=b2+c22bc，即bc3，(当且仅当b=c= 3时取等号)，S=12bcsinA= 34bc3 34，(当且仅当b=c= 3时取等号)，ABC的面积最大值为3 3419.解：(1)在ABC中，由正弦定理：sinBsinA+ 3sinAcosB=2sinA，sinA0，sinB+ 3cosB=2sin(B+3)=2，sin(B+3)=1;又B(0,)，B+3(3,43)，B+3=2B=6;(2)SABC=12acsinB=14ac=3 32，ac=6 3，在ABC中，由余弦定理：a2+c2b2=2accosB，a2+c2=21;a+c= a2+c2+2ac=3+2 3在ABC中，由正弦定理：asinA=csinC=bsinB=2 3，sinA+sinC=a+c2 3= 32+1；(3)因为ABC的面积为2 3，故12acsin6=2 3，所以ac=8 3，设PBA=，则PAB=3，PBC=6，PCB=3+，在PAB中，由正弦定理得PAsin=PBsin(3)=ABsin23，所以PB=2 33ABsin(3)，PA=2 33ABsin，在PBC中，由正弦定理得PCsin(6)=PBsin(6+)=BCsin23，所以PC=2 33BCsin(6)，PB=2 33BCsin(6+)，所以PB2PAPC=2 33ABsin(3)2 33BCsin(6+)2 33ABsin2 33BCsin(6)=438 3sin(3)sin(6+)sinsin(6)=32 33cos(6+)sin(6+)sin(12cos 32sin)=32 3312sin(2+3)12sincos+ 32sin2=32 33(14sin2+ 34cos214sin2+ 32sin2)=32 33 34(12sin2)+ 32sin2=8第8页，共8页
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