1、2024-2025学年广东省东莞市第四高级中学高二下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.函数y=16t32在t=2时的瞬时变化率为()A. 0B. 2C. 4D. 62.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是()A. 1e,+B. ,1eC. e,+D. 0,1e3.函数f(x)=13x3x2在1,1上的最大值是()A. 43B. 0C. 23D. 234.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A. 120种B. 84种C. 52种D. 48种5.若曲线f(x)=e2ax在点(0,1)处的切线与直线xy+1=0垂直，则a的值为()A. 12B. 12C. 14D. 146.已知事件A，B，若AB，且P(A)=0.4，P(B)=0.7，则下列结论正确的是()A. P(AB)=0.28B. P(A|B)=0.4C. PB|A=0.5D. P(B|A)=477.若x2ax1x10的展开式中x6的系数为30，则a=()A. 103B. 13C. 12D. 28.定义在R上的奇函数f(x)
2、，其导函数为f(x)，f(3)=0，当x0时，f(x)+xf(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A. (,3)(0,3)B. (,3)(3,0)C. (,3)(3,+)D. (3,0)(3,+)二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数y=f(x)，其导函数y=f(x)的图象如图所示，则对于函数y=f(x)的描述正确的是()A. 在(,0)上单调递减B. 在x=0处取得极大值C. 在(4,+)上单调递减D. 在x=2处取得最小值10.2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开(以下简称“两会”)，两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是()A. 若A与B相邻，则有48种不同站法B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法C. 若B在E的左边(可以不相邻)，则有60种不同站法D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法11.已知函数f(x)=x33x2+4，则()A. f(x)的极小值为2B. f(x)有两个零点C. 点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=3x+5是曲线y
3、=f(x)的切线三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.在x+2xn的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为13.若函数f(x)=x(xa)2在x=2处取得极小值，则a=；函数的极大值为14.若函数f(x)=x2alnx+1在1,+)上单调递增，则实数a的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数f(x)=2x3ax2+12x+b在x=2处取得极小值5(1)求实数a，b的值；(2)当x0,3时，求函数f(x)的最大值16.若(12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求：(1)求a4的值；(2)a1+a2+a7；(3)a0+a1+a717.工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25，35，40，并且各车间的次品率依次为5，4，2.现从该厂这批产品中任取一件(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少?18.设函数f(x)=13x3x2+1(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间与极值；(3)求出方程f(x)=m(
4、mR)的解的个数19.已知函数f(x)=x22(a+1)x+alnx(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，求证：f(x)3x223x参考答案1.B2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.BC10.ACD11.BCD12.2413.2；322714.215.(1)f(x)=6x22ax+12，因为f(x)在x=2处取极小值5，所以f(2)=244a+12=0，得a=9，此时f(x)=6x218x+12=6(x1)(x2)，令f(x)0，解得1x0，解得x2，所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，所以f(x)在x=2时取极小值，符合题意所以a=9，f(x)=2x39x2+12x+b又f(2)=4+b=5，所以b=1综上，a=9，b=1(2)由(1)知f(x)=2x39x2+12x+1，f(x)=6(x1)(x2)，列表如下：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f(x)+00+f(x)1极大值6极小值510由于60；当k为奇数时，ak0，则函数f(x)单调递增，当x(0,2)时，f(x)1或m 13时，方程的解为1个；当m=1或m=13时，方程的解为2
5、个；当13m1时，方程的解为3个19.(1)函数f(x)=x22(a+1)x+alnx的定义域为(0,+)，则f(x)=x(a+1)+ax=x2(a+1)x+ax=(x1)(xa)x，当a0时，令f(x)0，解得0x0，解得x1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，当0a1时，令f(x)0，解得ax0，解得0x1，f(x)在(a,1)上单调递减，在(0,a)和(1,+)上单调递增，当a=1时，f(x)0恒成立，f(x)在(0,+)上单调递增，当a1时，令f(x)0，解得1x0，解得0xa，f(x)在(1,a)上单调递减，在(0,1)和(a,+)上单调递增，综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增；当0a1时，f(x)在(1,a)上单调递减，在(0,1)和(a,+)上单调递增；(2)当a=1时，f(x)=x222x+lnx，定义域为(0,+)，设g(x)=f(x)3x223x=lnx+xx2，则g(x)=1x+12x=2x2+x+1x=(x1)(2x+1)x，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1,+)时，g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)在x=1处取得极大值，即最大值，所以g(x)g(1)=0，所以f(x)3x223x0，即f(x)3x223x得证第7页，共7页
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