1、2024-2025学年山东省菏泽市单县第一中学高一下学期第二次阶段性考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,1),b=(2,4)，则ab=()A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数z=m+1+(m1)imZ的共轭复数z对应的点在第一象限，则m的值为()A. 1B. 0C. 1D. 13.直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于A. 30B. 45C. 60D. 904.已知在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=4ab，CD=5a3b，则四边形ABCD为()A. 梯形B. 正方形C. 平行四边形D. 矩形5.已知m,n是空间中两条不同的直线，,是两个不同的平面，且m,n，有下列命题：若/，则m/n；若/，则m/；若=l，且ml，nl，则；若=l，且ml，mn，则，其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 36.已知复数z1和z2，满足z1=z2=z1z2=1，则z1+z2=()A. 32B. 3C. 3D. 17.勒洛三角形
2、是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，点P在弧AC上，且PBC=30，则PAPC=()A. 64 3B. 2 34C. 2 64 2D. 4 368.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=3，b2=94ac，则sinA+sinC=()A. 2 3913B. 3913C. 72D. 3 1313二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,1)，b=(1,t)，则下列说法正确的是()A. 若ab，则t的值为2B. 若a/b，则t的值为12C. 若0t2，则a与b的夹角为锐角D. 若a+bab，则a+b=ab10.已知ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有()A. 若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形B. 若A=6，a=4，则ABC外接圆半径为4C. 若a=2bcosC，则ABC为直角三角形D. 若sin2A+sin2B0)，求ab的最小值，并求出
3、此时a与b夹角的余弦值18.(本小题17分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，点E在棱AD上，PE底面ABCD，BC=2 3,AB=PE=2(1)若DE=2AE，证明：ACPB；(2)若点D到平面PAC的距离为 2，求AE的长19.(本小题17分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若C=23，求B；(2)求a2+b2c2的最小值参考答案1.D2.B3.C4.A5.B6.C7.A8.C9.AB10.BD11.AC12.5413.4911,9(9,+)14.(1)(3)(4)15.解：(1)点M为PD的中点理由如下：如图，连接BD.设BDAC=O，则点O为BD的中点，连接OM.PB/平面ACM，PB平面PBD，平面PBD平面ACM=OM，PB/OM在PBD中，O为BD的中点，OM为PBD的中位线，点M为PD的中点(2)PA底面ABCD，又底面是边长为1的正方形，S正方形ABCD=1，因为PA底面ABCD，又AB,AD,AC平面ABCD，则PAAB,AD,AC，即PAB,PAD,PAC直角三角形，又PA=AB
4、=AD=1，则SPAB=SPAD=1211=12，AC= AB2+AD2=PD=PB= 2,则PC= PA2+AC2= 3，又PC2=PD2+DC2=PB2+BC2，则PDC,PBC为直角三角形，则SPDC=SPBC=121 2= 22综上四棱锥PABCD的表面积为S=1+212+2 22=2+ 216.解：(1)P,Q分别为AE,AB的中点，PQ/EB又EB/!/DC，PQ/DC又PQ不在平面ACD内，DC在平面ACD内，PQ/平面ACD(2)连接CQ,DPQ为AB的中点，且AC=BC,CQABDC平面ABC,AC,BC平面ABC，DCAC,DCBC，EB/!/DC，EBAC,EBBC，ACBC=C，AC,BC平面ABC，EB平面ABC，CQ平面ABC，CQEB,由(1)有PQ/!/DC，又PQ=12EB=DC,四边形CQPD为平行四边形，DP/!/CQ,DPAB,DPEB，ABEB=B，AB,EB平面ABEDP平面ABEDAP为AD和平面ABE所成的角由AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120,得AD= 5,DP=CQ=12AC=1，在RtDPA中，sinDAP=DPAD=1
5、5= 55，AD和平面ABE所成角的正弦值为 5517.解：(1)因为a=(1,2)，且a/!/c，所以设c=a=(,2)，所以c= 2+(2)2=2 5，解得=2，所以c=(2,4)或c=(2,4)(2)由ka+b= 2akb，得ka+b2=2akb2，所以k2a2+2kab+b2=2a22kab+k2b2，因为a= 5，b=2，可得6kab=3k2+6，因为k0，所以ab=k2+1k2 k21k= 2，当且仅当k2=1k，k= 2时取等号所以abmin= 2设a与b夹角为，则此时cos= 101018.解：(1)连接BE，交AC于点F，因为PE底面ABCD，AC底面ABCD，所以PEAC因为BC/!/AD，所以AFCF=EFBF=AEBC=13，所以CF=34AC=34 AB2+BC2=3,BF=34BE=34 AB2+AE2= 3，所以BF2+CF2=BC2，所以BEAC，又PEBE=E,PE,BE平面PBE，PEAC，所以AC平面PBE，又PB平面PBE，所以ACPB(2)设AE=x，过E作EGAC于G，连接PG，由(1)知PEAC，又PE,EG平面PEG，所以AC平面PEG，又PG平面PEG，所以ACPG，又BC=2 3,AB=PE=2，所以EG=AEsinDAC=x2，所以PG= PE2+EG2= 4+x24，由V三棱锥DAPC=V三棱锥PACD，得13SAPC 2=13SACDPE，所以1312ACPG 2=1312ADCDPE，所以13124 4+x24 2=13122 322，解得x=2 2，即AE=2 219.解：(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosBsinAsinB=cos(A+B)=cosC=12，而0B0，所以2C,0B2，而sinB=cosC=sin(C2)，所以C=2+B，即有A=22B，所以B(0,4),C(2,34)所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+1cos2Bcos2B=(2cos2B1)2+1cos2Bcos2B=4cos2B+2cos2B52 85=4 25当且仅当cos2B= 22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为4 25第9页，共9页
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