1、2024-2025学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos225cos45sin225sin45的值是()A. 1B. 0C. 1D. 22.已知向量a=(x,2x3)，b=(x,1)，若a/b，则x=()A. 1或3B. 1或2C. 0或2D. 3或23.在复平面内，复数z对应的向量OZ=(1,2)，则|z3|=()A. 2 2B. 5C. 3D. 24.在ABC中，若A=30,B=45,BC=2 3，则AC=()A. 2B. 3C. 6D. 2 65.若sin(6)= 33，则cos(32)=()A. 13B. 23C. 910D. 126.在ABC中，若sinCsinB=cos2A2，则ABC是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.已知菱形ABCD中，ABC=120，AC=2 3，BM+12CB=0，DC=DN，若AMAN=29，则=()A. 18B. 17C. 16D. 158.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb=
2、2bcosA，则cab的取值范围是()A. (1,2)B. (32,2)C. (32,3)D. (2,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.计算下列各式，结果为 3的是()A. 2sin15+ 2cos15B. tan21+tan24+tan21tan24C. 1+tan151tan15D. cos215sin15cos7510.关于复数z1，z2，下列说法正确的是()A. 若z1z20，则z1z2B. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0C. z1+z2=z1+z2D. 若z12+z220,0),x4,0时的图象，且图象的最高点为B(1,2)，新步道的中部分为长1千米的直线跑道CD，且CD/EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE(1)求的值和DOE的大小；(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE=，求矩形MNPQ面积最大时应取何值，并求出最大面积？18.(本小题17分)如图，我们把由平面内夹角
3、成60的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对x,y叫做向量OP的“完美坐标”(1)若向量OP的“完美坐标”为3,4，求|OP|；(2)已知x1,y1，x2,y2分别为向量a，b的“完美坐标”，证明：ab=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)；(3)若向量a，b的“完美坐标”分别为sinx,1，cosx,1，设函数f(x)=ab，xR，求f(x)的值域19.(本小题17分)已知ABC的面积为9，点D在BC边上，CD=2DB(1)若cosBAC=45，AD=DC，证明：sinABD=2sinBAD；求AC；(2)若AB=BC，求AD的最小值参考答案1.B2.C3.A4.D5.A6.A7.D8.D9.AC10.BCD11.ACD12.2 5513. 3314.115.解：(1)若复数z是纯虚数，则m22m3=0m(m+1)0，解得m=3(2)当m=1时，z=4+2i，把z=4+2i代入方程x2+px+q=0得：(4+2i)2+p(4+2i)+q=0，整理得：124p+q+(2p16
4、)i=0，所以124p+q=02p16=0，解得p=8，q=2016.解：(1)cos2=12sin2=35，结合(2,)，可得sin=1 5，cos= 1sin2=2 5，所以tan=sincos=12；(2)因为(2,)，且cos=3 1010，所以sin= 1cos2=1 10，所以tan=sincos=13，所以tan(+)=tan+tan1tantan=1，又因为+(,2)，所以+=7417.解：(1)由题意可得：A=2,T4=1(4)=3，即T=12，且0，则=2T=6，所以曲线段FBC的解析式为y=2sin(6x+23)当x=0时，y=OC=2sin23= 3，又因为CD=1，则tanDOC=CDOC= 33，可知锐角DOC=6，所以DOE=3(2)由(1)可知OD=2，OP=2，且POE=(0,3)，则QM=PN=2sin,ON=2cos,OM=QMtan3=2 33sin，可得MN=ONOM=2cos2 33sin，则矩形MNPQ的面积为SMNPQ=MNPN=2sin(2cos2 33sin)=4sincos4 33sin2=2sin2+2 33cos22 33=4
5、33sin(2+6)2 33，又因为(0,3)，则2+6(6,56)，可知当2+6=2，即=6时，SMNPQ=4 332 33=2 33，所以矩形MNPQ取得最大值2 3318.解：(1)因为OP的“完美坐标”为3,4，则OP=3e1+4e2，又因为e1，e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60，所以|e1|=|e2|=1，e1e2=|e1|e2|cos60=12，所以|OP|= (3e1+4e2)2= 9e12+24e1e2+16e22= 9+2412+16= 37(2)证明：由(1)知，|e1|=|e2|=1，e1e2=12，所以ab=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)2 =x1x2e12+x1y2e1e2+x2y1e1e2+y1y2e2 =x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)，即ab=x1x2+y1y2+12(x1y2+x2y1)(3)因为向量a，b的“完美坐标”分别为sinx,1，cosx,1，由(2)得f(x)=ab=sinxcosx+1+12(sinx+cosx)令t=sinx+cosx= 2sin(x+4)，则sinxcosx=12(t21
6、)，因为xR，所以 2 2sin(x+4) 2，即 2t 2，令g(t)=12(t21)+1+12t=12(t2+t+1)=12(t+12)2+38,( 2t 2)，所以当t=12 2, 2时，g(t)取得最小值g(12)=38，当t= 2时，g(t)取得最大值g( 2)=12(2+ 2+1)=3+ 22，所以f(x)的值域为38,3+ 2219.证明：(1)因为CD=2DB，AD=DC，所以AD=2DB，在ABD中，由正弦定理可得，ADsinABD=BDsinBAD，所以sinABD=ADBDsinBAD=2sinBAD；设BAC=，则cos=4，因为0，所以sn=35，设C=，因为AD=DC，所以C=CAD=，在ABD中，B=，BAD=，由知sinABD=2sinBAD，所以sin(+a)=2sin()，所以sincos+cossin=2sincos2cossin，整理得cos=4sin，又因为sin2+cos2=1，0，所以sin= 1717,cos=4 1717，因为CD=2DB，所以SACD=23SABC=6，在ACD中，因为AD=DC，C=，所以AC=2ADcos，AD=AC2cos= 178AC，则SACD=12ADACsin= 1716AC2 1717=6，所以AC=4 6；(2)记ABC的内角为A，B，C，所对边为a，b，c，因为CD=2DB，所以AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23(ABAC)=13AC+23AB，所以AD2=49c2+19b2+49bccosBAC，在ABC中，因为AB=BC，所以由余弦定理可得a2=c2=c2+b22bccosBAC，整理得2ccosBAC=b，cb=2cosBAC，因为SABC=12bcsinBAC=9，所以bc=18sinBAC，所以b2=36cosBACsinBAC，c2=b24cos2BAC=9cosBACsinBAC，所以AD2=4sinBACcosBAC+12cosBACsinBAC=4+12cos2BACsinBACcosBAC =4sin2BAC+16cos2BACsinBACcosBAC=4(sinBACcosBAC+4cosBACsinBAC)44=16，当且仅当si
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