1、2024-2025学年安徽省安庆市第二中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=e2x+3，则f(2)=()A. 2eB. eC. 1eD. 2e2.若An2=3Cn12，则n的值为()A. 4B. 5C. 6D. 73.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有()A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种4.定义在区间12,4上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列结论不正确的是()A. 函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B. 函数f(x)在区间12,0上单调递减C. 函数f(x)在x=1处取得极大值D. 函数f(x)在x=0处取得极小值5.三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为()A. 34B. 49C. 332D. 8276.1xx2(x+2)5的展开式中，x4项的系数为()A. 75B. 79C. 39D.
2、357.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则PBA=()A. 78B. 67C. 34D. 258.已知a0，对任意x1,x2(a,+)，且x1x2时，不等式x1lnx2x2lnx14x1x2恒成立，则实数a的取值范围为()A. 1,+)B. e,+C. e4,+D. e5,+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列运算错误的是()A. (2x)=2xlog2eB. ( x)= x2xC. (sin1)=cos1D. (log3x)=1xln310.若(12x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论中正确的是()A. a0=1B. a1+a2+a3+a4+a5=2C. a1+a3+a5=122D. a12+a24+a38+a416+a532=111.已知函数f(x)=ax22x+lnx，若f(x)有两个极值点x1,x2x11B. fx20D. fx1+
3、fx20)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a14，求证：对x1,x2(0,+)且x1x2，都有fx1fx2x1x2+a018.(本小题17分)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以CatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.CatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于CatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球2个白球，乙箱中有4个红球1个白球(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；(3)在(2)的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率19.(本小题17分)对于函数f(x)与g(x)定义域D上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f(x)kx+b和g(x)kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f(x)与g(x)的“分界线”(1)若函数f(x)=x2+2x，g(x)=x2+2x，D=R，求函数f(
4、x)和g(x)的“分界线”；(2)已知函数f(x)=alnxaR满足对任意的x(0,+)，f(x)e(x1)恒成立求实数a的值；设函数g(x)=12x2，试探究函数f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.B7.B8.D9.AC10.AC11.ABD12.4x+2y5=013.45014.0.6815.(1)函数f(x)=x23x+1ex定义域为R，f(x)=(x2x2)ex=(x+1)(x2)ex，当x2时，f(x)0，当1x2时，f(x)11321，即有f(x)min=1，所以f(x)在区间2,0上的最大值为5e，最小值为116.(1)因为二项式 x+1xn的展开式中第2项的二项式系数为Cn1，第3项的二项式系数为Cn2，所以Cn1:Cn2=1:3，即2nn(n1)=13，解得n=7，所以该二项展开式的项数为8(2)因为二项式 x+1xn的展开式的第r+1项为Tr+1=C7r( x)7r1xr=C7rx73r2，令73r2=1，得r=3，当r=3时，T4=C73x1=35x17.(1)因
5、为f(x)=12x2(a+1)x+alnx，定义域为(0,+)，所以f(x)=x(a+1)+ax=x2(a+1)x+ax=(x1)(xa)x当0a0，得0x1，令f(x)0，得ax1时，令f(x)0，得0xa，令f(x)0，得1xa，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增(2)不妨设x1x2，则x1x20，只需证fx1fx2 ax1x2，即需证fx1+ax1fx2+ax2构造函数g(x)=f(x)+ax=12x2x+alnx，则要证gx12 141=0，所以函数g(x)在(0,+)上为增函数成立，所以当a14时，对x1,x2(0,+)且x1x2，都有fx1fx2x1x2+a018.(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则P(A)=1C22C52=910,P(AB)=C32C52=310，故P(B|A)=P(AB)P(A)=310910=13(2)设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件C表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，则P(C)=26=13,PC=46=23,PD|C=45,PD|C=35，可
6、得P(D)=P(CD)+PCD=P(C)PD|C+PCPD|C=1345+2335=23(3)在(2)的条件下P(C|D)=P(C)P(D|C)P(D)=134523=2519.(1)令f(x)kx+bg(x)，取x=0，则b=0，进而有x2+2xkxx2+2x，即x2+(k2)x0且x2+(2k)x0，解得k=2，故函数f(x)和g(x)的“分界线”为y=2x(2)因为对任意的x(0,+)，f(x)exe恒成立，所以f(x)exe0对x(0,+)恒成立，令(x)=f(x)exe，(x)=axe=aexx(x0)，当a0时，(x)0与题意矛盾，舍去；当a0时，令(x)ae；令(x)0，解图0xae，从而(x)在0,ae上单调递增，在ae,+上单调递减，(x)max=ae=alna2a+e由题意可知(x)max0，即alna2a+e0，也即lna+ea20，令p(a)=lna+ea2，p(a)=1aea2=aea2，当a0,e时，p(a)0，p(a)单调递增，所以p(a)min=pe=0，从而p(a)pe=0又p(a)0，所以p(a)=0，此时a=e设F(x)=(x)f(x)=12x2elnx(x0)，则F(x)=xex=x+ ex ex当0x e时，F(x) e时，F(x)0，函数F(x)单调递增x= e是函数F(x)的极小值点，也是最小值点，F(x)min=F e=0函数f(x)与(x)的图象在x= e处有公共点 e,12e设f(x)与(x)存在“分界线”且方程为：y12e=kx e令函数u(x)=kx+12ek e(i)由(x)u(x)，即12x2kx+12ek e在xR上恒成立，即x22kxe+2k e0在R上恒成立，此时=4k2+4e8k e=4k e20成立，k= e，故u(x)= ex12e()下面再证明：f(x)u(x)elnx ex12e(x0)恒成立设(x)=elnx ex+12e，则(x)=ex e=e exx当0x0，函数(x)单调递增；当x e时，(x)0，函数(x)单调递减x= e时，
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